二十世纪的数学指路人——希尔伯特

20世纪数学的指路人希尔伯特 希尔伯特（1862-1943）出生于普鲁士，从小对数学得心应手。他的一位亲戚回忆说，小希尔伯特“作文”要靠妈妈帮助，但是却能给老师讲解数学难题。希尔伯特18岁进大学，23岁获博士学位。 1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，38岁的大卫·希尔伯特作了题为数学问题的著名讲演，他提出：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。 就是在这次会议上，希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个悬而未决的数学问题，即著名的“希尔伯特的23个数学问题”。著名的哥德巴赫猜想就是第8个问题中的一部分。对这些问题的研究，有力地推动了20世纪各个数学分支的发展。希尔伯特领导的数学学派是上世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特称为“无冕的数学之王”。希尔伯特的巨著几何基础，提出了一个更为严谨完整的几何公理系统，并引起了20世纪初为建立各个数学分支牢固基础而努力的“公理化运动”。希尔伯特不仅是位杰出的学者，而且是为思想自由、政治民主而斗争的战士，1943年2月14日与世长辞。后人在他的墓碑上镌刻着他的格言：“我们必须知道，我们必将知道。” 附希尔伯特的23个数学问题希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展  问题1 康托尔的连续统基数问题(公理化集合论) 问题2 算术公理的相容性(数学基础)问题3 只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)  问题4 直线作为两点间最短距离问题(几何基础)问题5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论)问题6 物理公理的数学处理(数学物理)  问题7 某些数的无理性与超越性(超越数论)问题8 素数分布问题(数论)问题9 任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)问题10 丢番图方程可解性的判别(不定分析)问题11 系数为任意代数数的二次型(二次型理论)问题12 阿贝尔(Abel)域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)问题13  不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)问题14 证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论) 问题15 舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学)  问题16 代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)  问题17 半正定形式的平方表示式(实域论)  问题18 用全等多面体构造空间(结晶体群理论)  问题19 正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论)  问题20 一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)问题21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)  问题22 用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)  问题23 变分法的进一步发展(变分法)  希尔伯特的23个数学问题绝大部分早已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题。希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家。经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力。但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场。一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的。希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等。20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了。