高中数学导数及其应用知识点(共10页)

精选优质文档-倾情为你奉上导数知识点归纳及其应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤： 求函数的增量=f（x+）f（x）； 求平均变化率=； 取极限，得导数f(x)=。例：设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .解析： f( 0)=02导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0解析：切线的斜率为又切线的倾斜角小于，即故解得：故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v（t）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD答：A。练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1） 当t=2，时，求；（2） 当t=2，时，求；（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8二、导数的运算1基本函数的导数公式: （C为常数）; ; ; .例1：下列求导运算正确的是 ( )A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 例2：设f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，则f2005(x)( )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx2导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：当x0时,0 ，即 当x0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故当时，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是奇函数，当x>0时，f(x)g(x)为增函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)0故选D3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解>求导>回代。法则：y|= y| u|或者.练习：求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4）三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。例：函数是减函数的区间为( )AB C D（0，2） 2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数已知时取得极值，则= ( )A2 B3 C4 D53最值：在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。求最值步骤：求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的值(a)、(b)；将函数的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 .经典例题选讲例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.例4. 设函数，已知是奇函数。（）求、的值。 （）求的单调区间与极值。例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。（1）求a、b的值。（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。例6. 已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.例7：（2009天津理20）已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。参考答案：例1 解析：由函数的图象可知：当时， <0，>0，此时增当时，>0，<0，此时减当时，<0，<0，此时减当时，>0，>0，此时增，故选C例2.解：若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾若， ，也只有一个单调区间，矛盾若 ，此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和，单调增区间为例3 .解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例4. 解：（），。从而是 一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。例5. 解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和 由韦达定理，得：1=， 则，（2）由（1），有f（x）=，f/（x）= 当时，当时，当时，当时，有极大值， 当，的最大值为 对，都有恒成立， 解得或例6.解：(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得 又 所以 即的取值范围为例7.解：（I）（II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值专心-专注-专业