4-5数学归纳法原理作业(一)

精品资源课后导练基础达标1.某个命题与自然数n有关，如果当n=k(kC N*)时该命题成立，那么可推得n=k+1时该命题也成立，现已知当 n=5时该命题不成立，那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立解析:n=k时成立,n=k+1时也成立:，当k不成立时,k-1肯定不成立|答案:C2.用数学归纳法证明“n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设 应将5k+1-2k+1变形为()A.(5k-2k)+4 >5k-2kB.5(5k-2k)+3 >2kC.(5-2)(5 k-2k)D.2(5k-2k)-3 5解析:第二步中要用到第一步假设，分析可得|答案:B3 .已知一个命题 P(k),k=2n(nC N*),若n=1,2,，1 000,P(k)成立，且当n=1 000+1时它也成立，下列判断中，正确的是()A.P(k)对 k=2 004 成立B.P(k)对每一个自然数 k成立C.P(k)对每一个正偶数 k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立解析：由题意知，命题只对某些自然数成立，而非所有自然数成立，且是小于1 001的自然数，不 能保证n>1 001时也成立|答案：4 .欲有数学归纳法证明：对于足够大的自然数n,总有2n>n3,n0为验证的第一个值，则()A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n0 之 10D.n0=2答案：c5 .探索表达式：A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+ +2 2!+1 n>1!. nCN)的结果时，第一步 n= 时,A=.答案：2 6 .用数学归纳法证明某个命题时，左式为1 2 3 4+2 3 n4n +5+n+P)(n+3),从n=k到n=k+1 ”左边需增加的代数式是 .答案：(k+1)(k+2)(k+3)(k+17 .已知an数列白前n项Sn=2n-an,则 an的前四项依次为 .猜想an=. 解析：a1=S=2-a1= aL3，a1 + a2=4-a2= a2=27, ai + a2+a3=6-a3= a3二 .415,ai +a2+a3+a4=8-a4=, a4=82n -1猜想an= F-2n答案：1,3,7,15 2 4 82n -12n欢迎下载.猜想an的计k (k -1)a(k 1) - ka8 .在数列an中,Sn是其前n项和，且S=2an-2,则此数列的四项分别为 算公式是.解析：a1=Si=2a1-2= a1二2.a1 + a2=2a2-2= a2，a1 + a2+a3=2a3-2= a3-&a1 + a2+a3+a4=2a4-2 = a4=16.猜想an=2n|答案：2,4,8,16 an=2n一，一1 一9 .数列an满足a二a,an+1=，猜想通项公式并用数学归纳法证明2 an解:a2=2 a12 一 a1 2 -a (a3=2 - a2 3-2a1 3-2a：a4=2 - a3 4 -3a1 4 -3a a5=2 a45 - 4a(n -1) -(n - 2)a猜想 an= -.n -(n - 1)a证明：n=2时显然成立|(k -1) - (k - 2)a彳初设n=k时成立，即ak=.k -(k -1)a当n=k+1时！111ak+1 =2ak(k -1) -(k -2)a 2k -2(k -1)a -(k -1) (k - 2)ak -(k -"1)ak -/k -1)a(k 1)1 (k 1) -2a (k - 1)_(k 1)_ia，n为任意自然数时，an = 1n二D二(n二2a成立.n - (n -1)a*、10.已知正数数列an满足2%；Sn =an +1(nCN)i(1)求 a1,a2,a3,(2)猜测an的表达式，并证明你的结论|解析：2 Ja1 =a+1= (a1)2=。al;2 . 1 a2 =a2+1= a2=3:2 4 83 =a3+1 = a5.猜想 an=2n-|h证明：当n=1时，显然成立|假设n=k时成立，即ak=2k-l?则 n=k+1 时，2jSk +ak =ak+1+1.ak1- Sk=( k ) k,2代入得(ak+1-1)2=4k2-ak+1 =2k+1=2(k+1)-L因此，对任意自然数nC N*,有an=2n-1成立|综合运用11.利用数学归纳法证明对任意偶数n,an-bn能被a+b整除"时淇第二步论证，应该是()A.假设n=k时命题成立，再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k时命题成立，再证n=k+2时命题也成立D.假设n=2k时命题成立，再证n=2(k+1)时命题也成立解析:根据步骤知|答案:A12 .用数学归纳法证明1+2+-+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，在验证n=1成立时，左边所得的代数式是()A.1B.l I；C.1+2+3D.1+2+3+4解析：右边=2X3=6=左边|答案：C13 .用数学归纳法证明"(3+1)7n-1能被9整除(nC N*) ”的第二步应为 .答案:假设当n=k时,(3k+1) 7k-1能被9整除14 .用数学归纳法证明当n>2且nCN时,xn-nan-1x+(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为答案：当n=2时,x2-2ax+a2能被(x-a)2整除拓展探究an15 .已知数列an满足ai=1,an+i=1 an计算a2,a3,a4；(2)猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明|解：a2=ai1 ai1a221 ,a3=、1 a2 1 . 1 321。一 a3_3 _ 1 Ia4= = |1a311431猜想an=.n证明：当n=1时显然成立|1假设当n=k时成立，即an=1|k1当 n=k+1时,an+1=-an11，当n=k+1时也成立|1.an= 1对任意nC N*成立|n