高考第一轮复习数学：9.11多面体与正多面体教案含习题及答案

9.11 多面体与正多面体知识梳理1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.点击双基1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是答案：B2.正多面体只有_种，分别为_.答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_.解析：过N作NPAM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可.答案： 典例剖析【例1】 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为，则cos等于A. B. C. D. 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得cos=（设正方体的棱长为2）.答案：A【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则PEQ=2PEO即为所求二面角的平面角，OE=2a，OP=2a，tanPEO=，PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n=x+y=0，n=yz=0，解得n=（1，1，1），所以向量=（2a，2a，0）在n上的射影长d=即为所求.特别提示由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例3】 三个1212 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片如图（1），把6片粘在一个正六边形的外面如图（2），然后折成多面体如图（3），求此多面体的体积.解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=123=864 cm3.甲 乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥3V小三棱锥=864 cm3. 思考讨论补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.闯关训练夯实基础1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有A.2种 B.3种 C.4种 D.5种解析：正多面体只有5种.答案：B2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C1O与EF的距离为_.答案： 培养能力3.四面体的一条棱长是x，其他各条棱长为1.（1）把四面体的体积V表示为x的函数f（x）；（2）求f（x）的值域；（3）求f（x）的单调区间.解：（1）设BC=x，则S到平面ABC的垂足O是ABC的外心，连结AO并延长交BC于D，则D是BC的中点，且ADBC，求得AD=，S=.设ABC的外接圆的半径为R，求得R=，SO=，V=SSO=（0x）.（2）f（x）= =，0x23，f（x）（0，）.（3）当x=时，f（x）取得最大值， 又0x，f（x）的单调递增区间是（0，递减区间是，）.4.（文）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD1的中点.（1）求证：直线B1O平面MAC；（2）求二面角B1MAC的大小.（1）证明：BB1平面ABCD，OBAC，B1OAC.连结MO、MB1，则MO=，B1O=，MB1=3.MO2+B1O2=MB12，MOB1=90.B1OMO.MOAC=O，B1O平面MAC.（2）解：作ONAM于点N，连结B1N.B1O平面MAC，AM平面B1ON.B1NAM.B1NO就是二面角B1MAC的平面角.AM=，CM=，AM=CM.又O为AC的中点，OMAC.则ON=OAsinMAO= .在RtB1ON中，tanB1NO=，B1NO=arctan，即所求二面角的大小为arctan.说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.（理）在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB与C1D1的中点.（1）求证：四边形A1ECF是菱形；（2）求证：EF平面A1B1C；（3）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值.（1）证明：取A1B1的中点G，连结C1G、GE.A1GFC1且A1G=FC1，A1GC1F是平行四边形.A1FC1G.同理C1GCE.A1FCE.由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=a，四边形A1ECF是菱形.（2）证明：连结C1B，E、F分别为AB与C1D1的中点，C1F=BE.又C1FBE，C1FEB为平行四边形.C1BEF.而C1BB1C，EFB1C.又四边形A1ECF是菱形，EFA1C.EF面A1B1C.（3）解：由（2）知，EF平面A1B1C，又EF平面A1ECF，平面A1B1C平面A1ECF.B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上.B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角.A1B1B1C，在RtA1B1C中，tanB1A1C=.A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为.探究创新5.（2003年烟台诊断性测试）（B）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD1的中点，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.（1）求证：B1O平面EAC；（2）若点F在EA上且B1FAE，试求点F的坐标；（3）求二面角B1EAC的正弦值.（1）证明：由题设知下列各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），B1（2，0，2）.由于O是正方形ABCD的中心，O（1，1，0）. =（1，1，2），=（2，2，0），=（0，2，1）.=（1，1，2）（2，2，0）=12+1220=0，=（1，1，2）（0，2，1）=10+1221=0.，.B1O平面ACE.（2）解：设点F的坐标为F（0，y，z），则 =（2，y，z2），=（2，y，z2）（0，2，1）=2y+z2=0.又点F在AE上， =（R）.又=（0，y，z），（0，y，z）=（0，2，1）=（0，2，）.于是由可得=，y=，z=，F（0，）.（3）解：B1O平面EAC，B1FAE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OFAE，OFB1即为二面角B1EAC的平面角.|=，又=（2，），|=.在RtB1OF中，sinB1FO=.故二面角B1EAC的正弦值为.思悟小结1.割补法是求多面体体积的常用方法.2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念，熟悉五种正多面体.教师下载中心教学点睛学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念.拓展题例【例1】 正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线CD1和BC1所成的角是A.60 B.45 C.90 D.120解析：连结D1A1、AC，知ACD1是等边三角形，且D1ABC1，所以BC1与CD1所成的角是60.答案：A【例2】 边长为a的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）解：设O为ABC的中心，连结OA、OB、OC，并设OA、OB、OC的中点分别为A1、B1、C1，过A1、B1、C1分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面.【变式】 ABC若为一般三角形，又如何拼接？【例3】 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1B1和B1C1的中点.（1）求二面角B1BFE的大小.（2）求点D到平面BEF的距离.（3）能否在棱B1B上找到一点M，使DM面BEF？若能，请确定点M的位置；若不能，请说明理由.解：（1）过B1作B1GBF于G，连结EG，则由EB1面B1BCC1，可知EGBF.B1GE是二面角B1BFE的平面角.在RtBB1F中，B1B=a，B1F=，BF=a，B1G= a.在RtB1GE中，B1E=，B1G=a，tanB1GE=.B1GE=arctan.故二面角B1BFE的大小为arctan.（2）连结B1D1与EF交于N，则EFB1D1.又BB1EF，EF面BB1D1D.又EF面BEF，面BEF面BB1D1D，且面BEF面BB1D1D=BN.过D作DHBN于H，则DH面BEF.DH的长即为点D到面BEF的距离.在矩形BB1D1D中，易证BDHNBB1，=，DH=a.故点D到面BEF的距离为a.（3）在平面BB1D1D中，延长DH交BB1于M，由（2），DH面BEF，DM面BEF.由BDMB1BN，有=，BM=.则M为BB1的中点.故在棱BB1上可找到点M，使DM面BEF，此时M为BB1的中点.