新教材高中数学北师大版选修22教案：第2章 拓展资料：例析变化率与导数问题

（新教材）北师大版精品数学资料例析变化率与导数问题导数是微积分的核心概念之一，考虑到同学们初次接触导数的知识，本文对导数的知识点作一归类，供参考。一、函数的平均变化率问题例1 求函数在到之间的平均变化率，并计算当，时平均变化率的值。分析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以求得相应的平均变化率。解析：当自变量变化到时，函数的平均变化率为。当，时，平均变化率的值为。评注：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易算出。二、割线的斜率问题例2 过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率。分析：割线的斜率即为函数从1到的平均变化率。解析：，割线的斜率为。当时，割线的斜率为，则。评注：一般地，设曲线是函数的图象，是曲线上的定点，点是上与点邻近的点，有，割线的斜率为。三、平均速度问题例3 自由落体的运动方程为，计算从到，各段内的平均速度（位置的单位为）。分析：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可。解析：设在内的平均速度为，则，。；同理；。评注：当的值越小时，其平均速度就越接近于一个定值。四、瞬时速度问题 例4 某一物体的运动方程为 求此物体在和时的瞬时速度。分析：瞬时速度就是路程对时间的变化率。解析：当时， 。当时， 。物体在和时的瞬时速度分别为6和0。评注：分段函数的瞬时速度问题应考虑“间断点”及“分段”的条件。五、切点坐标问题例5 直线：和曲线：相切，求切点的坐标及的值。 分析：设切点坐标为，根据导数的几何意义，求出切线的斜率后列方程即可。解析：设直线与曲线相切于点，则。由题意知，即，解得或，于是切点的坐标为或。当切点为时，解得；当切点为时，解得（舍去）。故的值为，切点坐标为。评注：利用导数的几何意义求切线方程、斜率等是高考常考内容，一般以中、低档题目出现，多为小题。六、切线问题例6 如果曲线的某一条切线与直线平行，求切点坐标与切线方程。分析：利用导数的几何意义求切线方程的步骤：（1）求在处的导数，即为曲线在处的切线的斜率；（2）利用点斜式写出切线方程。解析：切线与直线平行，斜率为3。设切点坐标为，则，又，从而得 切点坐标为。所求切线方程为，即。