高中数学北师大版必修五教案：1.4 数列的概念知识总结及例题讲解

2019学年北师大版数学精品资料1.1.1 数列的概念本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。一、 基本概念1. 数列的概念 按一定次序排列的一列数叫数列。注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 数列中的每一个数按顺序1，2，3，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4个数，叫作第4项，第n个数，叫作第n项，记作; 数列的一般形式为，简单记为，其中表示数列的通项. 通项公式：如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。特别提示：a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，通项公式可表示为或; b) 不是所有的数列都有通项公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，就没有通项公式. 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫作递推公式。2. 数列的表示方法 列表法，指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系. 图像法，指在坐标平面中用点表示. 解析法，指用一数学式子表示来。例如：常用的通项公式.3. 数列的分类 按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列. 按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列. 二、 例题讲解例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1) ， (2) 1,3,6,10,15,(3) , (4) 6,66,666, (5), (6) ,或 特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：1) 1，0，1，0，; 2)-1,1,-1,1,; 3)1,11,111,1111,例2. 已知数列,(1) 求数列的第10项(2) 是否为该数列的项，为什么？(3) 求证：数列中各项都在区间内；(4) 在区间内有无数列中的项？例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式(1)(可用两种方法) (2)已知数列 满足求(3)(插项法和叠加法组合)(4)在数列中,已知,(5)设是首项为1的正数数列，且,求它的通项公式.（累乘法）(6)已知数列中，数列中，,当时，,求例4. 求下列数列中某一项(1) 已知数列满足,求(2) 已知数列对任意,有,若，求(3) 在数列中，,求(4) 已知数列满足,求例5. 利用数列的单调性解答 (1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y=(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列，求实数k的取值范围.(3)设,又知数列的通项满足, 1)试求数列的通项公式; 2)判断数列的增减性.(4)设是定义在正整数集上的函数，且满足,如果,则=例6. 和之间的关系注：数列的通项与前n项和的相互关系是：;(1) 已知数列的前n项和,求数列的通项公式.(2) 已知求(3) 已知,又数列中，这个数列的前n项和的公式，对所有大于1的自然数n都有.1) 求数列的通项公式.2) 若, 求的值特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.