新编北师大版数学选修12教案:第3章拓展资料:剖析演绎推理证明的几种常见错误
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新编北师大版数学选修12教案:第3章拓展资料:剖析演绎推理证明的几种常见错误
新编数学北师大版精品资料剖析演绎推理证明的几种常见错误1.偷换论题例1求证四边形的内角和等于。证明:设四边形是矩形,则它的四个角都是直角,有,所以,四边形的内角和等于。剖析:上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形。正证:对于任意四边形,连结对角线,则得。因为三角形内角和等于,又,四边形的内角和等于。2.虚假论据例2已知和是无理数,试证也是无理数。错证:依题设和是无理数,而无理数与无理数的和是无理数,所以也是无理数。剖析:上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是:“无理数与无理数的和是无理数”,这个论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数。因此,原题的真假性仍无法断定。正证:假设不是无理数,那么它就是有理数,于是,存在互质的正整数,使得,从而有,因此,即,即,。因为为互质的正整数,为有理数,而为无理数,矛盾,故假设不成立,也是无理数。3.循环论证例3在中,求证:。错证:因为,=。剖析:上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“”这个公式,按照现行中学教材系统,这个公式是由勾股定理推出来的,这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据,犯了循环论证的错误。ACBDELMFGHK正证:分别以的三边为边向外作正方形。连结,作。显然,以为旋转中心,将逆时针旋转,则与重合,于是。因为正方形同底等高,且矩形同底等高,即。同理,即。,即。4.不能推出例4设。求证:。错证:因为=,。剖析:上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为只能推出。至于关系式是否唯一地成立,却无法断定。因此,只有进一步推出,即,原题才能得证。正证:因为函数在区间上是增函数,又,且, ,。又因为=,。