新版高中数学北师大版选修21课时作业：2.5 夹角的计算 Word版含解析

新版数学北师大版精品资料第二章5课时作业19一、选择题12014课标全国卷直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A BC D解析：解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ即为所求，设BCCACC12，则AQ，AN，QN，cosANQ，故选C.解法二：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，(1,0，2)，(1，1，2)，cos，故选C.答案：C2正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A BC D解析：建系如图，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，0)，F(0，1)，B1(1,1,1)(0,1,0)设平面A1EF的法向量n(x，y，z)，则即令y2，则n(1,2,1)，cosn，即线面角的正弦值为.答案：B3在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成角是()A30 B45C60 D90解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，0)，(1，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，所以cos，n，所以，n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30，故选A.答案：A4正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30 B45C60 D90解析：建系如图，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为.此角的大小为45.答案：B二、填空题5在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA2，则AB与PC的夹角的余弦值为_解析：因为()1cos451，又|1，|，cos，.答案：6正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析：取BC中点O，连接AO，DO.建立如右图所示空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0，)，B(0，0)，D(，0,0)(0,0，)，(0，)，(，0)由于(0,0，)为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案：72014辽宁抚顺市四校统考如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CPm，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m_.解析：如右图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，所以(1,1，m)，(1,1,0)，又0，0，所以是平面BDD1B1的一个法向量设AP与平面BDD1B1所成的角为，则sincos()，所以m.答案：三、解答题8PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC.求二面角APBC的余弦值解：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)设平面PAB的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得令x11，则n1(1，0)(0，1,1)，(，0,0)设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由得令z21，则n2(0,1,1)cosn1，n2.所求二面角为锐角，二面角APBC的余弦值为.法二：如图所示，取PB的中点D，连接CD.PA平面ABC，PAAC.PC.PCBC，CDPB.作AEPB于E，那么二面角APBC平面角的大小就等于与的夹角.PA平面ABC，BCAC，PCBC.PB2.PD1，PE.DEPDPE.又AE，CD1，AC1，且，|2|2|2|22|cos()，即1121cos，解得cos，故二面角APBC的余弦值为.9如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)求直线AM与平面ANE所成的角解：(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)(，0，1)，(1,0,1)cos，所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)(0,1,1)，(，1,0)设平面ANE的法向量为n(x，y，z)，则取x2，则n(2,1，1)又(1,0,1)，cos，n，则直线AM与平面ANE所成的角为60.