1-2.2《等差数列前n项和》

1.2.2等差数列前n项和教学目标 1.掌握等差数列前 项和的公式，并能使用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前 项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想理解等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值. 2.通过公式的推导和公式的使用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成理解问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生实行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，体现数学中的对称美；通过相关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学重点：等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点：获得推导公式的思路.教学方法：讲授法. 教学建议（1）知识结构 本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同使用，解决相关问题（2）重点、难点分析 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但绝绝大部分学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上（3）教法建议本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 项和公式综合使用. 前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. 强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. 补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题. 用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.教学过程：一.新课引入 提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？ 问题就是（板书）“ ” 这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数能够分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？二.讲解新课：（板书）等差数列前 项和公式1.公式推导（板书）问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：使用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式 ，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶相关.这个思路似乎实行不下去了.思路二：上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得：， 于是有： .这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .于是得到了两个公式： 和 .2.公式记忆：用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形实行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.3.公式的应用:公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1） ；（2） （结果用 表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结:1.推导等差数列前 项和公式的思路； 2.公式的应用中的数学思想.