北京市石景山区高三上期末考试数学【理】试题及答案

石景山区20142015学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合， ，则( )A. B. C. D.2下列函数中，在上单调递减的是（ ）A. B. C. D.开始k = 0S= 100S > 0 kk1S = S2k是输出k结束否3点与圆的位置关系是（ ）A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.与的值有关4. 某程序框图如右图所示，该程序运行 输出的值是（ ）A.4 B.5 C.6 D.75以为公比的等比数列中，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6如果实数满足不等式组目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.47如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为（ ）A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则( ) A.6 B. 8 C. 10 D. 12xxyy-1O1-2-1O121-1-11图1图2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9若复数, ,则 10.为等差数列，公差，、成等比数列，则 ADBEC11如图，在边长为2的菱形中，为中点，则 12.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为 AB13. A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有 种（用数字作答）14. 设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集集合为封闭集； 集合为封闭集； 若集合为封闭集，则为封闭集；若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）DACBE如图所示，在四边形中， ，；为边上一点，.（）求sinCED的值；（）求BE的长16（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（）求该考生8道题全答对的概率；（） 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17（本小题共14分）ABCDPQM如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.（）求证：平面平面；（）若点在线段上，且满足,求证：平面；（）若,求二面角的大小.18.（本小题共13分）已知函数.（）若是函数的极值点，求的值；（）求函数的单调区间. 19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且过点.（）求椭圆的标准方程；（）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.20（本小题共13分）对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质 （）判断是否具有性质；（）若，且具有性质，求的值；（）若具有性质，求证：，且当时，石景山区20142015学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BDA D BBDC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案4029110 【12题只答一种情况得3分】三、解答题共6小题，共80分15（本小题共13分）（）设.在中，由余弦定理，得 2分得CD2CD60，解得CD2(CD3舍去) 4分在中，由正弦定理，得 6分（）由题设知，所以 8分而，所以. 11分在中，. 13分16（本小题共13分）（）该考生8道题全答对为事件，依题意有 . 3分（）该考生所得分数为，则的所有可能取值为. 4分， 6分， 8分 10分 12分 分布列为：13分17（本小题共14分）（）, 2分且ABCDPQMOH 4分（）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，所以且；取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,所以, 且，所以，四边形为平行四边形，所以，且,所以PQ/面BDC. 9分 (III)如图建系,则, 10分ABCDPQMyzx设面的法向量,即令,则设面的法向量 11分即令, 则 12分所以二面角的大小为 14分18.（本小题共13分）（）函数的定义域为. 1分 . 3分因为是函数的极值点，所以.5分解得或.经检验，或时，是函数的极值点. 6分 （）由（）知：.由，令，解得.9分当时， 的变化情况如下表+0-极大值函数的单调递增区间是，单调递减区间是；11分当时，的变化情况如下表+0-极大值函数的单调递增区间是，单调递减区间是.13分19（本小题共14分）（）由题意知，解得， 椭圆的标准方程为：. 4分（）设联立，消去，得： 6分依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，- ，由（*）式，-， 可得- ， 8分由， 10分由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即. . 12分 即，整理得.解得：. 14分20（本小题共13分）（）具有性质. 2分（）选取，Y中与垂直的元素必有形式. 所以，从而 5分（III）证明：取.设满足. 由得，所以、异号. 因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故. 8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为. 10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以. 13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】