【学霸优课】数学文一轮教学案：第二章第8讲　函数与方程 Word版含解析

第8讲函数与方程考纲展示命题探究1函数零点的等价关系2零点存在性定理3二次函数yax2bxc(a>0)零点的分布根的分布(m<n<p为常数)图象满足条件x1<x2<mm<x1<x2续表根的分布(m<n<p为常数)图象满足条件x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在(m，n)之间或f(m)f(n)<04二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法注意点零点存在性定理的使用条件零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点.1思维辨析(1)函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)<0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac<0时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)函数y2sinx1的零点有无数多个()(6)函数f(x)kx1在1,2上有零点，则1<k<.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案B解析f(x)2xln 23>0，f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)226<0，f(1)213<0，f(0)201>0，f(1)235>0，f(2)22610>0，f(1)f(0)<0.故函数f(x)在区间(1,0)上有零点3(1)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()(2)若函数f(x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(1)C(2)(，4)解析(1)A，B图中零点两侧不异号，D图不连续故选C.(2)164a>0，解得a<4.考法综述函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题选择、填空题考查的主要形式有两种，一种是找零点的个数；一种是判断零点的范围，多为中等难度解答题考查较为综合，在考查函数的零点、方程的根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法命题法判断零点的个数及所在的区间典例(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)(2)函数f(x)3coslogx的零点个数是()A2 B3C4 D5(3)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析(1)f(1)6log216>0，f(2)3log222>0，f(4)log242<0，包含f(x)零点的区间是(2,4)，故选C.(2)把求函数f(x)的零点个数问题转化为求函数y3cos的图象与函数ylogx的图象的交点个数问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示函数y3cos的最小正周期是4，当x8时，ylog83，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f(x)3coslogx有5个零点(3)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)<0，所以(a)(41a)<0，即a(a3)<0.所以0<a<3.答案(1)C(2)D(3)C【解题法】函数零点问题的解题方法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上利用零点存在性定理进行判断画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断(2)判断函数零点个数的方法直接法：解方程f(x)0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数yh(x)与函数yg(x)的图象的交点个数二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式来判断(3)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解1.已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同的实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可得，当<b<2时，直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，故函数yf(x)g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.2函数f(x)的零点个数为()A3 B2C7 D0答案B解析解法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点解法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点3设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析f(x)exx4，f(x)ex1>0，函数f(x)在R上单调递增对于A项，f(1)e1(1)45e1<0，f(0)3<0，f(1)f(0)>0，A不正确；同理可验证B、D不正确对于C项，f(1)e14e3<0，f(2)e224e22>0，f(1)f(2)<0.故f(x)的零点位于区间(1,2)4设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_答案(1)1(2)2，)解析(1)若a1，则f(x)，作出函数f(x)的图象如图所示由图可得f(x)的最小值为1.(2)当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21a0，即a2，所以a2，当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足，解得a<1.综上，实数a的取值范围为2，)5函数f(x)4cos2cos2sinx|ln (x1)|的零点个数为_答案2解析因为f(x)4cos2cos2sinx|ln (x1)|2(1cosx)sinx2sinx|ln (x1)|sin2x|ln (x1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数ysin2x与y|ln (x1)|图象的交点的个数函数ysin2x与y|ln (x1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点6设x3axb0，其中a，b均为实数下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b>2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，则f(x)3x2a.对于，由ab3，得f(x)x33x3，f(x)3(x1)(x1)，f(x)极大值f(1)1<0，f(x)极小值f(1)5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3axb0仅有一个实根；对于，由a3，b2，得f(x)x33x2，f(x)3(x1)(x1)，f(x)极大值f(1)4>0，f(x)极小值f(1)0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3axb0有两个实根；对于，由a3，b>2，得f(x)x33xb，f(x)3(x1)(x1)，f(x)极大值f(1)2b>0，f(x)极小值f(1)b2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3axb0仅有一个实根；对于，由a0，b2，得f(x)x32，f(x)3x20，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3axb0仅有一个实根；对于，由a1，b2，得f(x)x3x2，f(x)3x21>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3axb0仅有一个实根7.已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_答案(，0)(1，)解析令(x)x3(xa)，h(x)x2(x>a)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得a<0或(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a(，0)(1，)8已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.71828为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围解(1)由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当<a<时，令g(x)0，得xln (2a)(0,1)所以函数g(x)在区间0，ln (2a)上单调递减，在区间(ln (2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln (2a)2a2aln (2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当<a<时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln (2a)2a2aln (2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点所以<a<.此时g(x)在区间0，ln (2a)上单调递减，在区间(ln (2a)，1上单调递增因此x1(0，ln (2a)，x2(ln (2a)，1)，必有g(0)1b>0，g(1)e2ab>0.由f(1)0有abe1<2，有g(0)1bae2>0，g(1)e2ab1a>0.解得e2<a<1.当e2<a<1时，g(x)在区间0,1内有最小值g(ln (2a)若g(ln (2a)0，则g(x)0(x0,1)，从而f(x)在区间0,1上单调递增，这与f(0)f(1)0矛盾，所以g(ln (2a)<0.又g(0)ae2>0，g(1)1a>0，故此时g(x)在(0，ln (2a)和(ln (2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在0，x1上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在x2,1上单调递增所以f(x1)>f(0)0，f(x2)<f(1)0，故f(x)在(x1，x2)内有零点综上可知，a的取值范围是(e2,1)函数f(x)x的零点个数为()A0 B1C2 D3错解错因分析分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域通过作图(图略)，可知函数f(x)x的图象不是连续不断的，而零点的存在性定理不能在包含间断点的区间上使用正解函数f(x)的定义域为x|x0，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0.所以函数f(x)没有零点，故选A.答案A心得体会时间：60分钟基础组1.2016武邑中学仿真已知x0是f(x)x的一个零点，x1(，x0)，x2(x0,0)，则()Af(x1)<0，f(x2)<0 Bf(x1)>0，f(x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0 Df(x1)<0，f(x2)>0答案C解析如图，在同一坐标系下作出函数yx，y的图象，由图象可知当x(，x0)时，x>，当x(x0,0)时，x<，所以当x1(，x0)，x2(x0,0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，选C.22016枣强中学一轮检测函数f(x)xcos2x在区间0,2上的零点个数为()A2 B3C4 D5答案D解析令f(x)xcos2x0，得x0或cos2x0.由cos2x0，得2xk(kZ)，故x(kZ)又因为x0,2，所以x，.所以零点的个数为145.故选D.32016衡水中学周测已知函数f(x)ln x，则函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析函数f(x)的导数为f(x)，所以g(x)f(x)f(x)ln x.因为g(1)ln 111<0，g(2)ln 2>0，所以函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.4. 2016衡水中学模拟设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当x0，时，0<f(x)<1；当x(0，)且x时，f(x)>0，则函数yf(x)sinx在2，2上的零点个数为()A2 B4C5 D8答案B解析f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x2)f(x)f(x)，yf(x)的图象关于y轴和直线x对称，又0<x<时，f(x)>0，0<x<时，f(x)<0.同理，<x<时，f(x)>0.又0x时，0<f(x)<1，yf(x)的大致图象如图所示又函数yf(x)sinx在2，2上的零点个数函数yf(x)与ysinx图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.52016枣强中学热身已知函数f(x)xcosx，则f(x)在0,2上的零点个数为()A1 B2C3 D4答案C解析函数f(x)xcosx的零点个数为xcosx0xcosx的根的个数，即函数h(x)x与g(x)cosx的图象的交点个数如图所示，在区间0,2上交点个数为3，故选C.62016衡水二中期末若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()Aa> Ba>或a<1C1<a< Da<1答案B解析当a0时，f(x)1，与x轴无交点，不合题意，所以a0，函数f(x)3ax12a在区间(1,1)内是单调函数，f(1)f(1)<0，即(5a1)(a1)>0，解得a<1或a>，选择B.72016衡水二中预测已知定义在R上的函数yf(x)对于任意的x都满足f(x1)f(x)，当1x<1时，f(x)x3，若函数g(x)f(x)loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是()A.(5，) B.5，)C.(5,7) D.5,7)答案A解析由f(x1)f(x)得f(x1)f(x2)，因此f(x)f(x2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数函数g(x)f(x)loga|x|至少有6个零点可转化成yf(x)与h(x)loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论若a>1，则h(5)loga5<1，即a>5.若0<a<1，则h(5)loga51，即0<a.所以a的取值范围是(5，)82016枣强中学月考定义域为R的偶函数f(x)满足对任意xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(|x|1)在(0，)上至少有三个零点，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析令x1，则f(12)f(1)f(1)又f(x)为定义域在R上的偶函数，所以f(1)0，即f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为T2，又f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)的图象关于x1对称，根据f(x)2x212x18(x2,3)作出f(x)与函数yloga(x1)(x>0)的图象，则yf(x)loga(|x|1)在(0，)上至少有三个零点，也就是函数f(x)的图象与yloga(x1)(x>0)至少有三个交点，如图所示，则解得0<a<.92016冀州中学期中已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析f(x)ex2，令f(x)ex20，得xln 2.当x>ln 2时，f(x)>0，当x<ln 2时，f(x)<0，所以当xln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则f(ln 2)0，即eln 22ln 2a0，解得a2ln 22，所以a的取值范围是(，2ln 22102016冀州中学月考已知函数f(x)m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为_答案m>1解析函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根当m0时，不合题意，舍去；当m0时，m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，解得m>1.112016衡水中学猜题若方程x2ax2b0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则的取值范围是_答案解析令f(x)x2ax2b，方程x2ax2b0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，.根据约束条件作出可行域，得到ABC及其内部(如图)不含边界，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,0)，设E(a，b)为区域内任意一点，则k表示点E(a，b)与点D(1,2)连线的斜率，kAD，kCD1，结合图形可知<<1.122016武邑中学猜题已知函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(1ln 2,3解析要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x0时，f(x)2x0有一个根，此时解得0<a3.而当x>0时，f(x)ln x2xa0需有两个不同的实根，令g(x)2xln x，g(x)2，当x>时，g(x)>0，函数g(x)在上单调递增，当0<x<时，g(x)<0，函数g(x)在上单调递减，g(x)ming1ln 1ln 2，当x0时，g(x)，当x时，g(x)，要使方程f(x)0在区间(0，)上有两个不同的实数根，则有a>1ln 2.综上可知，a的取值范围为(1ln 2,3能力组13.2016武邑中学周测已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A(1,3) B(0,3)C(0,2) D(0,1)答案D解析画出函数f(x)的图象如图所示观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有三个不同的交点，此时需满足0<a<1，故选D.142016衡水中学仿真已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_答案解析作出函数f(x)，x0,3)的图象(如图)，f(0)，当x1时，f(x)极大值，f(3)，方程f(x)a0在3,4上有10个根，即函数yf(x)的图象和直线ya在3,4上有10个交点由于函数f(x)的周期为3，则直线ya与f(x)的图象在0,3)上应有4个交点，因此有a.152016衡水中学一轮检测函数f(x)对一切实数x都满足ff，并且方程f(x)0有三个不同的实根，则这三个实根的和为_答案解析由题意知，函数f(x)的图象关于直线x对称，方程f(x)0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x对称，其和为1，故方程f(x)0的三个实根之和为.16. 2016冀州中学仿真已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x>0) (1)若g(x)m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)g(x)x22e等号成立的条件是xe， 故g(x)的值域是2e，)，因此，只需m2e，g(x)m就有实数根(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e2>2e，即m>e22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)