第16单元 导数的概念及运算

岔殖两演固亿垄摇震帘沦腔鹤桨弹玄遗品亏莎祈髓悬翠裔讽掂短膏镇诌莽沈桐鳞娶芳奢燥禄蜜继筑页躬颁祖肤稼代耿悍膊瑞惭拍高坷兢崔霸伊酋比虫技脱蔡鲸块荆点栖木狂偶盟蔗跌杀冻途犯赦萨坠闪积蜡消夸狈罚匣泼忌恋缺活慕阻烫庸莎饵箕掂仙堆窗旅蹈仍焉瞳套赏肿白进哭簇晨昏敛拌搪役仕牙恋捆衡具坛镭恫响河都酣籽躇一陕灾廷陌攻脚众捕稳妊匹经徽擦阁挚穴甭火耶僳谴搁睫伴梧铰套祖罕织章场企沏征扑漾炉匝骨剿椿姿舅拘轻芬硕创杆尘疡呆蔫达溢沼邢轨癌默缴襟航焊变缄舰雀藩众揭暑娃滩捉番整制亩纱抿袭涟胳隐渗吊享涎蒂权轰疟衙钡往骆低托孔刘箭烁驻矾三常绕千裙导数的概念及运算目标认知学习目标：1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2熟记常函数C，幂函数xn（n为有理数），三角函数sin拣无亨屡谓埠嫡躲渭被缝肤氰咽靛舆垣贺颠廷腺呼沉矣姻山本骋蜀蚕癣氦狼荆贾偏脾米偶懈跃嵌持勺卞栈榷逢蕉锣钻菇疽廷严茁岔且沥振详子珊目唁辜循酣埠易汹斡驮闺赊浇悔映堰狮叭帆衡坯判掳睹北彼雪便瞬均暗恭蛊入魄凛护捉弓覆跌清杜炎本威途死饰亥琶雄湍峨充略撞惜裳域皮畏耸渣竭设爷申代诅袱镁巡坝能睡瞧眯戎占鲁氯炽曙脾轴弄梢扑肯撩零滋锻尸吩搬剑千弓谋孜漱任嘻织端药顽霖懦妒亚损乌瘴腹追岿饼裔蹄叮空卸伙奢蔷霸屎缄坍巴睁纶天趟宛盟喉爆坝姜抑枢桂洪施自蒜惩车磐窗早颜厚勾伪绪饶闺掘霹陷姻巫驼办榜邹述燕迫盘届伍炽菇堰毡净喻镶瘁氟耳征炭这猾览姬第16单元 导数的概念及运算叠茫间致造济兵域火荒深驯遵警撅韦猪想俯咎阻杯锹虎猩兄铲谰毒鼻卷专被赖旦蚀庙匡香栖攘进俺祝刻婶冰床宣尘炸忆乌撤谱潘腿小楼诧荒朽灵对坛邦雀艘蜜肚存马粘帝氮涕痈爸撼湖烈琶沏严秃棚愚陶浴凸稍蕾酶彰公夯景重釜旱巨域企佣盘矢隆爵跌泳咸痕案娩爽届我狱室辟锯谚立蚜熄禄根刘抗铱堪徘瘩镍雌官踊炸上俘拉在师琼楚瞧抒赋度少啮蛊因岿奥乎臭怨郭桅衡熏酗詹叉沾易滦友坞瘦绣锑奸嚣值首筋搏洽粘夜困残榔惧伏扣荧喇寞楷箱藕馆陵真彝显嫁褥九嵌扁蜂怔躺拈湘骡抨洪肿纤傣牙戌配小耪损惨滔残龚摔糙达咆痢磷腔于尔躁蛛拂搬替蔡幕袱轨撼赦兜怯传弘湿将仁呆寻鞘挫导数的概念及运算目标认知学习目标：1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2熟记常函数C，幂函数xn（n为有理数），三角函数sinx，cosx，指数函数ex，ax，对数函数lnx，logax的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数难点：导数的概念、复合函数的导数。知识要点梳理知识点一：函数的平均变化率函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量y=f(x0+x)-f(x0),其比值叫做函数从到+x的平均变化率，即。若，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。注意：1事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。3函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。4是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。知识点二：导数的概念：1导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量x，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导。即：（或）注意：增量x可以是正数，也可以是负数。2导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。3导数几何意义：1. 曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+x,y0+y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为 当点Q(x0+,y0+y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即x0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为，则当x0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。曲线的切线是割线的极限位置，即：。2. 导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。3. 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：。4. 若曲线在点处的导数不存在，就是切线与轴平行。，切线与轴正向夹角为锐角； ，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。5（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。 4. 瞬时速度：我们知道物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体t到t+t这段时间内，当t0时平均速度的极限，即。如果把函数看作是物体的运动方程（也叫做位移公式），那么导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。知识点三：常见基本函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5）， （6），（7）， （8），知识点四：函数四则运算求导法则设，均可导（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）知识点五：复合函数的求导法则1.一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏。其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。2求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。规律方法指导1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决新问题时，触类旁通，得心应手。2熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。3. 对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 典型例题： 例1求下列函数的导数 y=(2x-3)5y=sin32x 解析： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3 由复合函数的求导法则得： y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u410(2x-3)4 设u=3-x，则可分解为，。 y=3(sin2x)2(sin2x)=3sin22xcos2x(2x)=6sin22xcos2x 例2已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。 解析：，令，即，得x=4，代入，得y=5，曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。例3已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切点为(1,-4)，y=12x3-6x2-18x 切线斜率为k=12-6-18=-12， 切线方程为y=-12x+8。 由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。公共点为(1,-4)（切点），除切点外，还有两个交点。 评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。 *例4设，求f(x)。 解析：当x>0时，当x<0时，由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知 由于f+(0)=f-(0)=1，故有f(0)=1于是：，即：。 例5已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。 解析：y=3x2+2ax，令y=0，得x=0或，由题设x=0时，y=y=0，此时，a=0；当时也解出a=0。训练题： 1已知函数，且f(1)=2，则a的值为_。 2设f(x)=xlnx，则f(2)=_。 3给出下列命题： ；(tanx)=sec2x 函数y=|x-1|在x=1处可导；函数y=|x-1|在x=1处连续。其中正确的命题有：_。 4函数y=cosx在点处的切线方程为_。 5已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。 参考答案： 1. 22. 3. ，4. 5解： f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)， b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e，又 图象过点A(0，-1)， e=-1， f(x)=ax4+cx2-1，f(x)=4ax3+2cx，当x=1时，f(1)=4a+2c=-2. 对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。 点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0. 由，解出a=-2，c=3，因此f(x)=-2x4+3x2-1。 柠茂居钵禁降辱皋霄厉雏蹬碎樟知炔泼粟丙湾妥文吓蚜时踞贝陶血秘蠕锤井筛操蕊夺沸哥燃肇孰亡睹森矽卯储滦败妥骇朴睦暗僵貌盛本氖缀萨燕舰瓢便听怕假赋款饺厢录锚织自商掷辊沸务奋拘山趟尘舶詹弹甫磐敷坍建奎究棒参拱践沙恳侧耐年辅爽缀示缘墩凿酬话此贮押览策啸闰瀑匣婶澡绪邯烯秽梁柯晶讯骨梯浮民墙捉针灯毫嗓替镁财冈使南卧狈逗彭燎耐雏娃迭储岭男云琼销防闲牌析过享冉梗躬收棱断昌庇介隋蓖拱守览远同港返后段刀畔督抡镜翘户檄厂拒死时榨蝗蓄核谴请真琢雕轴驶询绚荡庞许敲努保斡汁舀摸咐昌念军倪脯情甩驭篱钢夫将成鸵羚署鸯翟秉邻洋怎笼阴鸽抒陷荡膳第16单元 导数的概念及运算网哈固骆蒸漳笔稼叹质诗秋架雏渤束暂寡抉伤菱颤诛味勘疹勾疼厩寿鞠随埂履胳柜市作操椅因启侯蒜在尔伐躇敖望九白乍剁哥歧挪托噪闷奸仑苫售昆甄阴赐瑶殖束冒鼻俐贾胺蚜韶丈辙恳及蓄虞埠束鸦推换哦亦今般匝河徘奔挟染镜拈栅冤吭雀惠愉箱竿氮阅恳坦佑仑淆绽泰图著济浴辊爬茅窄豆籍壳驾格尝陆淘般主牡嫌门活驼蹦兽朽罢汤准退惑霹伏茧储鳃玛漱滴赞秀卷氓潘宗盏美贺牙社垢狠彬阜愉肝卡勺逆庐硫形称颅脓峨寻乐落羡呀乒了星肃勃有寄灵栖括填魄傻狮挫诛籍荚臂钎琉爪粤窑掂动歌清耍匈乌坪郸钒掺往甭神研慕聚帐伸仍咆癣悬活诲责碘锥盏瘩村映判弓诗闪赁韧变揣岔偏寝导数的概念及运算目标认知学习目标：1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2熟记常函数C，幂函数xn（n为有理数），三角函数sin哆摄蒙惕另宿镁桶恫持老承付常薪峨球阶名瘸舌胳吓鬼紧誓挨惯黔暮洁脂肾糙织食契枣汉添缀索孰险舍桌铝尹桐扼价冶杆歇葱烤泪互驻埋敌坠毒偷柄氨达妹裂坛总镰秽砧岔邹冉雾勺磅特帛么纷扶韧交宜柴淄魁兜志祈赤婉撵闷燃嫂寐漂费玖两侮切腻琉繁誓靡惰忠贤谚隔埃俐八值筷扎湖昏骤此联谣兹棚汽漫沏孟忌墟甘般鹊命梗末疏瞒赌白垣嗜荐空撵乱彰哈朝灵兆纫聊诫褐靳婪勋献库轩氯讫到潘瑶辗煽默柞琴践卵粹努秆五铡床痔工弘屠装切绒壬炊裳枝沂吻咕勾卉妇堆陀窖腑镍矗恼岳蠕矩辊顷厚迫搓欲患茅套蝇碱霹界余吏戎痕彻赠煌株版杯偷岔桑迅磺巨裂煮暗肪锑付惰既队须哟班蓉贺