初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:3010:30）题号一二三总分（110）（1118）1920得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号12345678910答案1. 方程 的根是A. B. C. -2009 D. 20092. 如果，且，那么与的关系是A B C D3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB在图2中的对应线段是A B C D 4. 如图，A、B、C是O上的三点，OC是O的半径，ABC=15°，那么OCA的度数是A75° B72° C70° D65°ABABCO图1 图2 （第3题图） （第4题图）5. 已知=3，=6，=12，则下列关系正确的是A B C D. 6. 若实数n满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是A1 B C0 D. -17. 已知ABC是锐角三角形，且ABC，则下列结论中错误的是AA60° BC60° CB45° DBC90°8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是A-2 B-1 C0 D29. 0的半径为15，在0内有一点 P到圆心0的距离为9，则通过P点且长度是整数值的弦的条数是A5 B7 C10 D12yx0110. 已知二次函数的图象如图所示，记，则下列结论正确的是A0 B0C0 D0（第10题图）二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11. 已知 |=3，=2，且0，则= .12. 如果实数互为倒数，那么 .13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .14. 如图，在直线上取一点，作轴，轴，垂足分别为A、B，若矩形OAPB的面积为4，则这样的点P的坐标是 .15. 如图，AD是ABC的角平分线，B=60°, E, F分别在AC、AB上，且AE=AF，CDE=BAC，那么，图中长度一定与DE相等的线段共有 条.ABDCFEDFBAECoxy（第14题图） （第15题图） （第16题图）16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC，DBC=45°，折叠梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕为EF，若AD=2，BC=8，则tanCDE= .xyOMBCAD17. 实数满足，设，则的最大值是 .18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0）， 点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 .（第18题图）三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.20. 如图，在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C 都不重合），点F在斜边AB上（点F与A，B都不重合）AFECB（1）若EF平分RtABC的周长，设AE=，AEF的面积为，写出与之间的函数关系式，并指出的取值范围；（2）试问：是否存在直线EF将RtABC的周长和面积同时平分，若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由.2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB，CDADB提示：1D；由，得2B；由0，0知0且|，所以|2|2，即22；3C；将图1中的平面图折成正方体4A；延长CO交于O于D，连结AD，则D=B=15°，因为CD为O的直径，所以CAD=90°，所以在RtACD中 , OCA=90°15°=75°.5B；由2=3，2=12，得2·2=3×12. 即2=36=62，而2=66C；设， 又7D；若BC90°，则 A90°，这与ABC是锐角三角形矛盾，故D错.8A；先据题意写出前面一些数：1，1，2，1，1，2，1，1，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，1，2，1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1(1)(2)(1)12=0，又2009=334×65，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，1，2，1，1的和.9D；过P点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=，所以O中，通过P点的弦长L的取值范围是24L30，又L为整数，所以L的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.10. B；由图象知0，=0，1，从而20，又0，即.二、填空题：11. 9或 12. 1 13. 14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16. 17. O 18.（1，3）提示：119或；由条件知，121；由已知条件知=1，所以原式 13. ；设口袋中有黄球个，依题意，得 ，所以P（摸出1个黄球）=14. （4，-1），（-1，4）；设点P的坐标为（），由题意得分程组 解此方程组即可.15. 3条；易知AFDAED，所以AFD=AED，DE=DF，又CDE=BAC，C为公共角，所以DEC=B=60°，所以AFD=AED=120°，所以BFD=60°，又B=60°，所以BDF为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.16；因为折叠后点B与D重合，所以EDB=DBC=45°，BED=90°，即DEBC，在等腰梯形ABCD中，CE= ，DE=BE=8-3=5 tanCDE= 17. O；由，得知0，又，由此可见，当-1时，随着的增大而减小，又因为0>-1, ，故当=0时，的最大值是0.xyOMBCADEF18. （1, 3）； 四边形OCDB是平行四边形，B（8，0）， CD/OA，CD=OB=8过点M作MFCD于点F，则CF= CD=4过点C作CEOA于点E， A（10，0），OE=OMME=OMCF=54=1.连结MC，则MC= OA=5 在RtCMF中， 点C的坐标为（1，3）三、解答题19. 解：设第二次购书本，依题意得整理得 ，解得当=50时，150÷50=32.8，这与实际不符，舍去.当=60时，150÷60=2.52.8，符合题意，由AFECBD2.8×60×80%2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）20. 解：（1）在RtABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，ABC的周长为12，又因EF平分ABC的周长，AEAF=6，而AE=，AF=6， 过点F作FDAC于D，则所以 （03）（2）这样的EF存在，此时AE= . SABC=，由EF平分ABC的面积，所以，解得03， 不合舍去，当 时，符合题意，所以这样的EF存在，此时AE= .