北师大版高三数学理复习学案：学案3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词含答案

高考数学精品复习资料 2019.5学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标： 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定自主梳理1逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词“p且q”记作pq，“p或q”记作pq，“非p”记作綈p.2命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为xM，p(x)，它的否定xM，綈p(x)(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为xM，p(x)，它的否定xM，綈p(x)自我检测1命题“xR，x22x1<0”的否定是()AxR，x22x10 BxR，x22x1>0CxR，x22x10 DxR，x22x1<0答案C解析因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题对x22x1<0的否定为x22x10，故选C.2若命题p：xAB，则綈p是()AxA且xB BxA或xBCxA且xB DxAB答案B解析“xAB”“xA且xB”，綈p：xA或xB.3(20xx大连调研)若p、q是两个简单命题，且“pq”的否定是真命题，则必有()Ap真q真 Bp假q假Cp真q假 Dp假q真答案B解析“pq”的否定是真命题，“pq”是假命题，p，q都假4(20xx湖南)下列命题中的假命题是()AxR,2x1>0BxN*，(x1)2>0CxR，lg x<1DxR，tan x2答案B解析对于B选项x1时，(x1)20.5(20xx辽宁)下列4个命题：p1：x(0，)，()x<()x；p2：x(0,1)，logx>logx；p3：x(0，)，()x>logx；p4：x(0，)，()x<logx.其中的真命题是()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4答案D解析取x，则logx1，logxlog32<1，p2正确当x(0，)时，()x<1，而logx>1，p4正确探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假例1写出由下列各组命题构成的“pq”、“pq”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假(1)p：1是素数；q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2x10的两实根的符号相同；q：方程x2x10的两实根的绝对值相等解题导引正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为：确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题的真假；根据其真值表判断复合命题的真假解(1)pq：1是素数或是方程x22x30的根真命题pq：1既是素数又是方程x22x30的根假命题綈p：1不是素数真命题(2)pq：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题pq：平行四边形的对角相等且互相垂直假命题綈p：有些平行四边形的对角线不相等真命题(3)pq：方程x2x10的两实根的符号相同或绝对值相等假命题pq：方程x2x10的两实根的符号相同且绝对值相等假命题綈p：方程x2x10的两实根的符号不相同真命题变式迁移1(20xx厦门月考)已知命题p：xR，使tan x1，命题q：x23x2<0的解集是x|1<x<2，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题，其中正确的是()A BC D答案D解析命题p：xR，使tan x1是真命题，命题q：x23x2<0的解集是x|1<x<2也是真命题，命题“pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题探究点二全(特)称命题及真假判断例2判断下列命题的真假(1)xR，都有x2x1>.(2)，使cos()cos cos .(3)x，yN，都有xyN.(4)x0，y0Z，使得x0y03.解题导引判定一个全(特)称命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立解(1)真命题，因为x2x1(x)2>.(2)真命题，如，符合题意(3)假命题，例如x1，y5，但xy4N.(4)真命题，例如x00，y03符合题意变式迁移2(20xx日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是()AxR，x23<0BxN，x21CxZ，使x5<1DxQ，x23答案C解析由于xR都有x20，因而有x233，所以命题“xR，x23<0”为假命题；由于0N，当x0时，x21不成立，所以命题“xN，x21”为假命题；由于1Z，当x1时，x5<1，所以命题“xZ，使x5<1”为真命题；由于使x23成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“xQ，x23”为假命题探究点三全称命题与特称命题的否定例3写出下列命题的“否定”，并判断其真假(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一个实数x，使x310.解题导引(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可(2)要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假解(1)綈p：xR，x2x<0，这是假命题，因为xR，x2x(x)20恒成立，即p真，所以綈p假(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题(3)綈r：xR，x22x2>0，是真命题，这是由于xR，x22x2(x1)211>0成立(4)綈s：xR，x310，是假命题，这是由于x1时，x310.变式迁移3(20xx天津)命题“存在x0R,2x00”的否定是()A不存在x0R,2x0>0B存在x0R,2x00C对任意的xR,2x0D对任意的xR,2x>0答案D解析本题考查全称命题与特称命题的否定原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“”的否定是“>”，所以其否定为“对任意的xR,2x>0”转化与化归思想的应用例(12分)已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x2ax02a0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题 3分若p为真命题，ax2恒成立，x1,2，a1. 6分若q为真命题，即x22ax2a0有实根，4a24(2a)0，即a1或a2， 10分综上，所求实数a的取值范围为a2或a1. 12分【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q就是方程x22ax2a0有实根，所以0.不是找一个x0使方程成立1逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定2判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断3全称命题“xM，p(x)”的否定是一个特称命题“xM，綈p(x)”，特称命题“xM，p(x)”的否定是一个全称命题“xM，綈p(x)”(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(20xx宣城模拟)已知命题p：xR，x23x30，则()A綈p：xR，x23x3>0，且綈p为真命题B綈p：xR，x23x3>0，且綈p为假命题C綈p：xR，x23x3>0，且綈p为真命题D綈p：xR，x23x3>0，且綈p为假命题答案C解析命题p是一个特称命题，它的否定綈p：对所有的xR，都有x23x3>0为真故答案为C.命题的否定要否定量词，即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论2已知命题p：xR，ax22x3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是()Aa< BaC0<a Da答案B解析命题綈p是真命题，命题p是假命题，而当命题p是真命题时，不等式ax22x3>0对一切xR恒成立，这时应有解得a>.因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，实数a的范围是a.3(20xx龙岩月考)已知条件p：|x1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca3 Da3答案A解析 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即qp，而pq，条件p化简为x>1或x<3，所以当a1时，qp.4已知命题“a，bR，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()Aa，bR，如果ab<0，则a<0Ba，bR，如果ab0，则a0Ca，bR，如果ab<0，则a<0Da，bR，如果ab0，则a0答案B解析a，bR是大前堤，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab0，a0，故选B.5(20xx宁波调研)下列有关命题的说法正确的是()A命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”B“x1”是“x25x60”的必要不充分条件C命题“xR，使得x2x1<0”的否定是“xR，均有x2x1<0”D命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为真命题答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6(20xx安徽)命题“对xR，|x2|x4|>3”的否定是_答案xR，|x2|x4|37已知命题p：“xR，mR使4x2x1m0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为_答案m1解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x2x1m0有实数解，即m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)，由于f(x)(2x1)21，所以当x-Ray时f(x)1，因此实数m的取值范围是m1.8(20xx安徽)命题“存在xR，使得x22x50”的否定是_答案对任意xR，都有x22x50解析因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意xR，都有x22x50.三、解答题(共38分)9(12分)分别指出由下列命题构成的“pq”“pq”“綈p”形式的命题的真假(1)p：42,3，q：22,3；(2)p：1是奇数，q：1是质数；(3)p：0，q：x|x23x5<0R；(4)p：55，q：27不是质数解(1)p是假命题，q是真命题，pq为真命题，pq为假命题，綈p为真命题(3分)(2)1是奇数，p是真命题又1不是质数，q是假命题因此pq为真命题，pq为假命题，綈p为假命题(6分)(3)0，p为假命题又x23x5<0<x<，x|x23x5<0x|<x<R成立q为真命题pq为真命题，pq为假命题，綈p为真命题(9分)(4)显然p：55为真命题，q：27不是质数为真命题，pq为真命题，pq为真命题，綈p为假命题(12分)10(12分)(20xx锦州月考)命题p：关于x的不等式x22ax4>0对一切xR恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax4>0对一切xR恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故4a216<0，2<a<2.(4分)又函数f(x)(32a)x是增函数，32a>1，a<1.(6分)又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假(1)若p真q假，则1a<2；(8分)(2)若p假q真，则a2.(10分)综上可知，所求实数a的取值范围为1a<2，或a2.(12分)11(14分)已知p：x2mx10有两个不等的负根，q：4x24(m2)x10无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围解p：x2mx10有两个不等的负根m>2.(3分)q：4x24(m2)x10无实根216(m2)216<01<m<3，(6分)因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反当p真且q假时，有m3；(10分)当p假且q真时，有1<m2.(12分)综上可知，m的取值范围为m|1<m2或m3(14分)