高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.4 函数的表示方法课堂导学案 苏教版必修1

2.1.4 函数的表示方法课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】 已知f(x)=(1)求f(1),f(-2),f(a2+1),ff(0)的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2（-2）+1=-3，f(a2+1)=(a2+1)2+1=a4+2a2+2,ff(0)=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.（2）fg(x)是g(x)作为自变量执行“f”这个对应法则，求ff(x0)的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】 （1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(+4）=x+8,求f(x2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x2).解析：（1）f(x)是二次函数， 设f(x)=ax2+bx+c(a0). 由f(0)=1得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 左端展开整理得2ax+(a+b)=2x. 由恒等式原理知f(x)=x2-x+1.(2)设t=+4.=t-4(t4). 由f(+4)=x+8可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t4）.f(x)=x2-16(x4）.f(x2)=x4-16(x2或x-2）. 温馨提示 在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(+4)=x+8，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0<x100)的信应付多少分邮资？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解析：设每封信的邮资为y，则y是信件重量x的函数.这个函数关系的表达式为f(x)= 函数值域为80，160，240，320，400. 在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.温馨提示 用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x和函数y的取值是否具有实际意义.各个击破类题演练 1已知函数y=f(x),f(0)=1，且当nN*时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1f(1-1)=1f(0)=1；f(2)=2f(2-1)=2f(1)=21=2；f(3)=3f(3-1)=3f(2)=32=6；f(4)=4f(4-1)=4f(3)=46=24；f(5)=5f(5-1)=5f(4)=524=120；变式提升 1已知xN*,f(x)=则f(3)=_.解析:f(x)= f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练 2(2004湖北卷高考理，3)已知f()=，则f(x)的解析式可取为（ ）A. B.- C. D.-解析：设=t，则x=.f(t)= 即f(x)=，故选C.答案：C 变式提升 2已知函数(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且()=16,(1)=8，求(x)的表达式.解析：设f(x)=k1x,g(x)=,则(x)=k1x+,（）=16，(1)=8,解得（x）=3x+.类题演练 3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y，所走千米数设为x，试写出y=f(x)的表示式.解析：当0<x4，y=10. 当4<x20时，y=10+(x-4)2=2x+2. 当x>20时,y=10+32+(x-20)2.2=2.2x-2. 综上所述，y与x的函数关系为y=变式提升 3如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).(1)求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解析：函数定义域为（0，12）. 当0<x4时，S=f(x)=4x=2x； 当4<x8时，S=f(x)=8； 当8<x<12时，S=f(x)=4(12-x)=24-2x,函数解析式为f(x)=（2）作出f(x)的图象（下图）. 由图象看出f(x)max=8.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375