（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 五十二 8.7 抛物线 文.doc

课时分层作业 五十二抛物线一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2B.2C.4D.2【解析】选B.设抛物线的标准方程为C:y2=2px(p>0),由焦半径公式得2+=3,所以p=2,不妨设M(2,2),如图,|OM|=2.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cosAFB=()A.B.C.-D.-【解析】选D.联立解得或不妨设A在x轴上方,所以A(4,4),B(1,-2),因为F点坐标为(1,0),所以=(3,4),=(0,-2),cosAFB=-.【一题多解】选D.因为A(4,4),B(1,-2),|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,由余弦定理知,cosAFB=-.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.B.(1,0)C.D.(0,1)【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【一题多解】选B.由于准线方程为x=-,焦点坐标为,所以由准线经过点(-1,1),可知焦点坐标为(1,0).【变式备选】抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.B.C.D.【解析】选C.抛物线的标准方程为x2=y,所以焦点坐标是.【方法技巧】根据抛物线的标准方程确定焦点坐标.4.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为4,则抛物线的方程是()A.y=4x2B.y=12x2C.y2=6xD.y2=12x【解析】选D.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则由抛物线的定义知1+=4,即p=6,所以抛物线方程为y2=12x.5. 已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+ |BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|AB|,即|AB|4,当且仅当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.B.1C.D.2【解析】选D.因为y2=4x,所以F(1,0).又因为曲线y=(k>0)与C交于点P,PFx轴,所以P(1,2).将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0),得k=2.7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.方法一:设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程得x2-2x-4x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-=,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设AB的倾斜角为.作AK1垂直于准线,垂足为K1,AK2垂直于x轴,垂足为K2,准线交x轴于点G,易知所以cos +p=,所以=,同理=,所以=,又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+,=,而y2=4x,即p=2.所以+=2p=4=16,当=时取等号,即+的最小值为16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=_.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得a=4,所以N(0,4),那么|FN|=6.答案:69.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽_米.【解析】建立坐标系如图所示:则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).因为点(2,-2)在抛物线上,所以p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=.所以水位下降1米后,水面宽为2米.答案:210.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0) 的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2,则抛物线C2的方程为_.【解析】因为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以2=,所以=,所以渐近线方程为xy=0,因为抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F,所以F到双曲线C1的渐近线的距离为=2,所以p=8,所以抛物线C2的方程为x2=16y.答案:x2=16y1.(5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=,=.由已知得,=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5得,+=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.【变式备选】若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=_.【解析】直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则a+1=0,所以a=-1. 答案:-12.(5分) O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为()A.2B.2C.2D.4【解析】选C.由题意可知焦点坐标为F(,0),因为|PF|=4,所以xP+=4,所以xP=3,所以|yP|=2,所以POF的面积为S=2=2.【变式备选】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于()A.B.C.D.【解析】选A.记抛物线y2=2px的准线为l,如图,作AA1l,BB1l,ACBB1,垂足分别是A1,B1,C,则有cosABB1 =,即cos 60=,由此得=.3.(5分)(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,所以|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,可得y1+y2=p,联立方程得-+1=0,由根与系数的关系得y1+y2=p,所以p=p,则=,=,所以双曲线的渐近线方程为y=x.答案:y=x【变式备选】过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=_.【解析】焦点坐标为F(1,0),所以直线方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1.由题意知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,由已知|AF|=3,所以x1=2,所以x2=,所以|BF|=.答案:4.(12分)(2017北京高考)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A为线段BM的中点.【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=,所以C:y2=x,所以焦点坐标,准线方程:x=-.(2)设l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由题知A(x1,x1),B,由消去y得k2x2+(k-1)x+=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以y1+=kx1+=2kx1+,由x1+x2=,x1x2=,上式=2kx1+=2kx1+(1-k)2x1=2x1,所以A为线段BM的中点.5.(13分)(2017全国卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上.(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.【解析】(1)a.当直线lx轴时,将x=2代入y2=2x得y=2,故|AB|=4,圆的半径为2,故原点O在圆M上,b.当直线l不垂直于x轴时,设AB的方程为y=k(x-2),因为抛物线C的方程为y2=2x,联立得,k2x2-(4k2+2)x+4k2=0,设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4,则=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2,将代入得=4(1+k2)-2(4k2+2)+4k2=0,故OAOB,又因为AB为直径,所以原点O在圆M上.(2)若斜率k不存在时,则圆M不经过P(4,-2),故斜率k存在.因为圆M过点P(4,-2),所以PAPB,即=0.将点P,A,B的坐标代入得(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2+y1y2-4(x1+x2)+2(y1+y2)+20=0,由于y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4k,利用(1)中的结论及式化简式得k2+k-2=0,解得k=-2或k=1.所以当k=-2时,直线l的方程为y=-2(x-2),x1+x2=,所以点M的横坐标为x0=,将x0=代入直线l的方程y=-2(x-2)得纵坐标y0=-,所以点M,所以|MP|=,所以圆M的方程为+=.当k=1时,直线l的方程为y=x-2,x1+x2=6,所以点M的横坐标为x0=3,将x0=3代入直线l的方程得纵坐标y0=1,所以点M(3,1),所以|MP|=,所以圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.所以当k=-2时,直线l的方程为y=-2(x-2),圆M的方程为+=;当k=1,直线l的方程为y=x-2,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.【变式备选】有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图.(1)求菜地内的分界线C的方程.(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的经验值.【解析】(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等,所以C是以F为焦点、以EH所在直线为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分,其方程为y2=4x(0y2).(2)依题意,点M的坐标为.所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为=,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为=,所以五边形面积更接近于S1面积的“经验值”.