广西2020版高考数学一轮复习 考点规范练41 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文.docx

考点规范练41直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础巩固1.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为34,则y=()A.-1B.-3C.0D.2答案B解析tan34=2y+1-(-3)4-2=2y+42=y+2,因此y+2=-1,y=-3.2.已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A.1B.-1C.2或1D.-2或1答案C解析当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意,当a0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是2-aa,令x=0时,得到直线在y轴上的截距为2-a,根据题意得2-aa=2-a,解得a=2或a=1,故选C.3.已知直线l的斜率为k(k0),它在x轴、y轴上的截距分别为k和2k,则直线l的方程为()A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0D.2x+y+4=0答案D解析依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k=2k-00-k=-2,由点斜式得直线l的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1,15B.-,12(1,+)C.(-,1)15,+D.(-,-1)12,+答案D解析设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=12,满足条件的直线l的斜率范围是(-,-1)12,+.5.一次函数y=-mnx+1n的图象同时经过第一、第二、第四象限的必要不充分条件是()A.m>1,且n>1B.mn>0C.m>0,且n<0D.m>0,且n>0答案B解析因为y=-mnx+1n经过第一、二、四象限,所以-mn<0,1n>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.6.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=0答案A解析易知A(-1,0).|PA|=|PB|,P在AB的中垂线即x=2上.B(5,0).PA,PB关于直线x=2对称,kPB=-1.lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.答案16解析根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)4ab,从而ab0(舍去)或ab4,故ab16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.8.一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线y=13x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是.答案3x-y-33=0解析因为直线y=13x的倾斜角为30,所以所求直线的倾斜角为60,即斜率k=tan60=3.又该直线过点A(2,-3),故所求直线为y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0.9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行;(4)直线l与y轴垂直.解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17.(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,根据题意可知2m-62m2+m-1=6,解得m=-13或m=0.(3)直线与y轴平行,则有m2-2m-30,2m2+m-1=0,解得m=12.(4)直线与y轴垂直,则有m2-2m-3=0,2m2+m-10,解得m=3.10.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.解点B在直线l2:2x+y-8=0上,可设点B的坐标为(a,8-2a).点P(0,1)是线段AB的中点,点A的坐标为(-a,2a-6).又点A在直线l1:x-3y+10=0上,将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为x4+y1=1,即x+4y-4=0.二、能力提升11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.8答案C解析直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),a+b=ab,即1a+1b=1,直线在x轴、y轴上的截距之和a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=2时等号成立.该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当AOB的面积取最小值时,直线l的方程为.答案2x+3y-12=0解析方法1:易知直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),则A3-2k,0,B(0,2-3k),所以SAOB=12(2-3k)3-2k=1212+(-9k)+4-k1212+2(-9k)4-k=12(12+26)=12,当且仅当-9k=4-k,即k=-23时等号成立.所以当k=-23时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0.方法2:设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时等号成立,又SAOB=12ab,所以当a=6,b=4时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.13.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.解设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A1-1k,0,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+1k22+2k21k2=4,当且仅当k2=1k2,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.三、高考预测14.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴、y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.解(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0,则a=1-4k,b=4-k.故a+b=5+-4k-k5+4=9,当且仅当k=-2时等号成立.此时直线l的方程为y=-2x+6.(方法二)设l:xa+yb=1(a>0,b>0).由于l经过点A(1,4),故1a+4b=1,则a+b=(a+b)1a+4b=5+4ab+ba9,当且仅当4ab=ba,即b=2a时等号成立,此时a=3,b=6.故所求直线l的方程为x3+y6=1,即y=-2x+6.