广西2020版高考数学一轮复习 高考大题专项练五 高考中的解析几何 文.docx

高考大题专项练五高考中的解析几何1.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2.设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=22m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求QAB与PDE的面积之比.解(1)MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),OM=(x,y),OA+OB=(0,2),|MA+MB|=OM(OA+OB)+2,4x2+4(1-y)2=2y+2,x2=4y.曲线C的方程为x2=4y.(2)设Qx0,x024,则SQAB=21-x024,y=x24,y=12x,kl=12x0,切线l的方程为y-x024=12x0(x-x0)与y轴交点M0,-x024,|PM|=1-x024.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由y=-x-1,y=12x0x-x024,得xD=x0-22,由y=x-1,y=12x0x-x024,得xE=x0+22,SPDE=12|xD-xE|PM|=1-x024,QAB与PDE的面积之比为2.3.(2018全国,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.4.已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为77|OB|.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C1的方程为x2m2+y2n2=1(m>n>0),椭圆C2的方程为x2m2+y2n2=(>0,且1),则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆.如图,已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线AB的方程为x-a+yb=1.F1(-1,0)到直线AB的距离d=|b-ab|a2+b2=77b,a2+b2=7(a-1)2.又b2=a2-1,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212+y29=1,若切线l垂直于x轴,则其方程为x=2,易求得|MN|=26.若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,将y=kx+b代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3,(*)设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将y=kx+b代入椭圆C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=4b2-363+4k2,|x1-x2|=43(12k2+9-b2)3+4k2,|MN|=1+k243(12k2+9-b2)3+4k2=461+k23+4k2=261+13+4k2.3+4k23,1<1+13+4k243,即26<261+13+4k242.综合,得弦长|MN|的取值范围为26,42.5.(2018全国 ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由题设得0<m<32,故k<-12.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=34,从而P1,-32,|FP|=32.于是|FA|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+31-x124=2-x12.同理|FB|=2-x22.所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3.故2|FP|=|FA|+|FB|.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求OAOB的取值范围;(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.(1)解由题意知,ca=12,62=b,即b=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)解由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),由y=k(x-4),x24+y23=1,可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,所以0k2<14.则x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2.所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=(1+k2)64k2-123+4k2-4k232k23+4k2+16k2=25-874k2+3.因为0k2<14,所以-873-874k2+3<-874,则-425-874k2+3<134,即OAOB-4,134.(3)证明因为B,E关于x轴对称,所以可设E(x2,-y2),则直线AE的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).令y=0,可得x=x1-y1(x1-x2)y1+y2.因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以x=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8=264k2-123+4k2-432k23+4k232k23+4k2-8=1,所以直线AE与x轴交于定点(1,0).7.(2018天津,文19)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89,或k=-12.当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.所以,k的值为-12.8.如图,已知椭圆x24+y23=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点.(1)若点G的横坐标为-14,求直线AB的斜率;(2)记GFD的面积为S1,OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.解(1)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8k24k2+3.故点G的横坐标为x1+x22=-4k24k2+3=-14,解得k=12.(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴或y轴垂直.由(1)可得G-4k24k2+3,3k4k2+3.设点D坐标为(xD,0).因为DGAB,所以3k4k2+3-4k24k2+3-xDk=-1,解得xD=-k24k2+3,即D-k24k2+3,0.因为GFDOED,且S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以-k24k2+3-4k24k2+32+-3k4k2+32=-k24k2+3,整理得8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S2.