广西2020版高考数学一轮复习 考点规范练46 双曲线 文.docx

考点规范练46双曲线一、基础巩固1.若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)答案C解析由题意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因为a>1,所以1<1+1a2<2.所以1<e<2.故选C.2.当双曲线M:x2m2-y22m+6=1(-2m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为()A.y=2xB.y=22xC.y=2xD.y=12x答案C解析由题意知,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2-y24=1,其渐近线方程为y=2x.3.(2018湖南湘潭模拟)若双曲线y2a2-x29=1(a>0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.36答案C解析双曲线的一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18.故选C.4.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x242-y232=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则|PF1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242-y232=1.5.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.2B.15C.4D.17答案D解析由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3ba=4,解得ba=4ba=-1舍去.因为双曲线的离心率e=ca=1+b2a2,所以e=17.故选D.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.3D.4答案B解析因为双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径r=1.所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca=2.7.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是.答案2解析双曲线的渐近线为y=bax,即bxay=0.所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为|bc0|a2+b2=bcc=b,解得b=32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.8.(2018江西六校联考)双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案9解析由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2b2a+4a=212+8=9.9.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3.所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y0=433,x0212-y023=1,解得x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,点D的坐标为(43,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OAOB的最小值.解(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c2-a2=2.所以W的方程为x22-y22=1(x2).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,从而OAOB=x1x2+y1y2=x12-y12=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k2m21-k2+m2=2k2+2k2-1=2+4k2-1.又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以OAOB>2.综上所述,当ABx轴时,OAOB取得最小值2.二、能力提升11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D解析双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D.2答案C解析设F(c,0),渐近线方程为y=bax,可得点F到渐近线的距离为bca2+b2=b,即有圆F的半径为b.令x=c,可得y=bc2a2-1=b2a.由题意可得b2a=b,即a=b,则c=a2+b2=2a.即离心率e=ca=2.13.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案B解析如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,|MF2|=2.点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=2<|F1F2|,由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.14.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为.答案53解析由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|,|PF1|=83a,|PF2|=23a.在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2=649a2+49a2-4c2283a23a=178-98e2.要求e的最大值,即求cosF1PF2的最小值,当cosF1PF2=-1时,得e=53,即e的最大值为53.15.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为2,求实数k的值.解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组x2-y2=1,y=kx-1有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故1-k20,=4k2+8(1-k2)>0,解得-2<k<2,且k1.双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-2,-1)(-1,1)(1,2).(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,C与l联立的方程组可化简为(1-k2)x2+2kx-2=0.故x1+x2=-2k1-k2,x1x2=-21-k2.当A,B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,SOAB=SOAD-SOBD=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,SOAB=SODA+SOBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|.故SOAB=12|x1-x2|=2,即(x1-x2)2=(22)2,即-2k1-k22+81-k2=8,解得k=0或k=62.又-2<k<2,且k1,所以当k=0或k=62时,AOB的面积为2.16.如图所示的曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在曲线上求点P,使得F1PF2是直角.解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为22.则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为22.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=22.即交点为(22,2).设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则8a2-4b2=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为x24-y24=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0).若F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y2)2=8,解得y=1,不满足题意,舍去.故在曲线上所求点P的坐标为(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).三、高考预测17.已知双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若ABF为等腰三角形,则该双曲线的离心率为()A.1+3B.5C.3D.2答案A解析由题意得F(-c,0),A(a,0),不妨设B(0,b),则|BF|=b2+c2>c,|AF|=a+c>c,|AB|=a2+b2=c,因为ABF为等腰三角形,所以只能是|AF|=|BF|,a+c=c2+b2.a2+c2+2ac=c2+c2-a2.c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,e=1+3(舍去负值),选A.