北京海淀区高三数学一模(文科)试题及答案精校版

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（文）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C （6）B （7）D （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10）0 （11）12；-54 （12） （13） （14）100110；4三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为 , 所以 . 1分因为 是与的等差中项, 所以 , 即.所以 . 3分所以 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 . 6分（）由（）可得：. 所以 , . 所以 是以1为首项, 为公比的等比数列. 9分所以 数列的前项和. 11分因为 ，所以 .若，当时，.所以 若对,恒成立，则.所以 实数的最小值为2. 13分 （16）（共13分）解：（）； 2分 6分 （）. 9分 （）乙种酸奶平均日销售量为：（箱）. 11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：（箱）. 13分 （17）（共13分）解：（）方法一：因为 且，所以 . 2分又因为 ， 4分所以 .所以 .所以 . 6分因为 ，所以 为等边三角形.所以 . 7分方法二： 因为 ， 所以 . 1分因为 ，所以 .所以 . 3分所以 .所以 .所以 . 5分因为 ， 所以 .所以 ，即. 7分（）因为 ，且，所以 . 所以 9分（当且仅当时，等号成立）. 11分因为 ，所以 .所以 .所以 .所以 当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值.13分（18）（共14分）证明：（）因为 四边形为矩形， 所以. 因为 平面平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 3分 因为 平面， 所以 . 5分（）证明：因为 四边形为矩形， 所以 .因为 ， 所以 平面平面. 7分 因为 平面， 所以 平面. 9分（）直线与相交，理由如下： 10分取的中点，的中点，连接，.所以 ，且.在矩形中，为的中点，所以 ，且.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形. 所以 ，. 12分因为 四边形为梯形， 为的中点，所以 ，.所以 四边形为平行四边形.所以 ，且.所以且.所以 是平行四边形.所以 ，即.因为 ，所以 四边形是以，为底边的梯形.所以 直线与相交. 14分（19）（共13分）解：（）因为 椭圆过点，所以 . 1分因为 ， 所以 . 所以 椭圆的方程为 3分（）方法一：依题意得.因为 椭圆上存在点关于直线对称，所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.设直线的方程为.由得 . 5分由，得.（*） 因为 ， 7分所以 的中点坐标为. 又线段的中点在直线上，所以 .所以 . 9分代入（*），得或.所以 . 11分因为 ，所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上. 13分方法二：因为 点在直线上，且关于直线对称，所以 ，且.设（），的中点为.则. 6分又在椭圆上，所以 .所以 .化简，得 .所以 . 9分又因为 的中点在直线上，所以 .所以 .由可得.所以 ，或，即，或.所以 . 12分所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上. 13分（20）（共14分）解：（）. 1分 当时，则函数的单调递减区间是. 2分当时，令，得. 当变化时，的变化情况如下：极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 4分（）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正实根. 5分令得，记其两个实根分别为.则 解得. 7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，即在上是单调函数.所以 .所以 ，是曲线的两条不同的切线.所以 实数的取值范围为. 9分（）当时，函数是内的减函数.因为 ，而，不符合题意. 11分当时，由（）知：的最小值是.（）若，即时，所以，符合题意.（）若，即时，.所以，符合题意.（）若，即时，有.因为 ，函数在内是增函数，所以 当时，.又因为 函数的定义域为，所以 .所以 符合题意.综上所述，实数的取值范围为. 高三数学（理）试题答案 第 13 页 共 13 页