07、08、09、11高考数学理科(宁夏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）试卷样本数据，的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中S为底面面积、h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知命题，sinx1，则（）A，sinx1B，sinx1C，sinx>1D，sinx>12已知平面向量a=（1，1），b（1，1），则向量（）A（2，1）B（2，1）C（1，0）D（1，2）3函数在区间的简图是（）ABCD4已知an是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）ABCD5如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（）A2450B2500C2550D26526已知抛物线的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3， 则有（）ABCD7已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A0B1C2 D48已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm39若，则的值为（）A B C D10曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）AB4e2C2e2De211甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）As 3>s 1>s 2Bs 2>s 1>s3Cs 1>s 2>s3Ds 2>s3>s112一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）ABCD第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。14设函数为奇函数，则a=。15i是虚数单位，。（用a+bi的形式表示，）16某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB。18（本小题满分12分）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，O为BC中点。（）证明：平面ABC；（）求二面角ASCB的余弦值。19（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q。（）求k的取值范围；（）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。20（本小题满分12分）如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。（）求X的均值EX；（）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（0.03，0.03）内的概率。附表：K2424242525742575P（k）0.04030.04230.95700.959021（本小题满分12分）设函数（）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于。22请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。A（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点。（）证明A，P，O，M四点共圆；（）求的大小。B（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程O1和O2的极坐标方程分别为。（）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程。C（本小题满分10分）选修45；不等式选讲设函数。（）解不等式f（x）>2；（）求函数y= f（x）的最小值。2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）参考答案一、选择题1C2D3A4D5C6C7D8B9C10D 11B 12B二、填空题13 14 15 16240三、解答题17解：在中，由正弦定理得所以在中，18证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为19解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程， 又 而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数20解：每个点落入中的概率均为依题意知（）（）依题意所求概率为，=0.9570-0.0423=0.914721解：（），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故的极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而有的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为22A解：（）证明：连结因为与相切于点，所以因为是的弦的中点，所以于是，由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆（）解：由（）得四点共圆，所以由（）得由圆心在的内部，可知所以B解：解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。（），由得所以即为的直角坐标方程。同理为的直角坐标方程。（）由解得 即，交于点和过交点的直线的直角坐标方程为C解：（）令，则 3分作出函数的图象，它与直线的交点为和所以的解集为（）由函数的图像可知，当时，取得最小值2008年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）理科数学样本数据x1，x2， ，xn的标准参 锥体体积公式s= V=Sh其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V=Sh ，其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知函数)在区间的图像如下：yx11O那么（ ）A1B2CD 2已知复数，则=（ ）ABCD3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）开始输入输出结束是是否否ABCD4设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（ ）ABCD5右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）ABCD6已知a1a2a30，则使得都成立的x取值范围是（ ）ABCD7（ ）ABCD8平面向量a，b共线的充要条件是（ ）Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量C，D存在不全为零的实数，9甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有（ ）A20种B30种C40种D60种10由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）ABCD11已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）ABCD12某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量，且，则14设双曲线的右顶点为A，右焦点为F过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为16从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285 287292294295301303303307308310314319323325325 328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图3 1 277 5 5 0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 6甲乙根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知是一个等差数列，且，（）求的通项；（）求前n项和Sn的最大值18（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体的对角线上，ABCDP（）求DP与所成角的大小；（）求DP与平面所成角的大小19（本小题满分12分）两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1510P0.80.2 X22812P0.20.50.3（）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；（）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值（注：）20（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2=（）求C1的方程；（）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程21（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为y=3（）求的解析式：（）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为（）证明：；OMAPNBK（）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点过点的切线交直线于证明：23（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）（）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线写出的参数方程与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲11Oxy已知函数（）作出函数的图像；（）解不等式BBDCA BCDAD AC （13）3 （14） （15） （16）. 1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。2 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）. 3 甲品种棉花的纤维长度的中位效为307mm，乙品种棉花的纤谁长度的中位数为318mm 4 乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的而且大多集中在中间（ 均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352 ）外也大致对称其分布较均匀三、解答题（17）解： （1）设的公差为，由已知条件，解出， 所以。 （2） 所以时，取到最大值4。 （18）解： 如图，以为原点，为单位长度建立空间直角坐标系。 则.ABCDPxyzH 连结. 在平面中，延长交于. 设, 由已知, 由 可得。 解得，所以 （）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为19解：（）由题设可知和的分布列分别为 Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3，（），当时，为最小值20解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得，解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由消去并化简得设，因为，所以所以此时，故所求直线的方程为，或21解：（），于是解得或因，故（）证明：已知函数，都是奇函数所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形（）证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令得，切线与直线交点为令得，切线与直线交点为直线与直线的交点为从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值22解：（）证明：因为是圆的切线，所以又因为在中，由射影定理知，（）证明：因为是圆的切线，同（），有，又，所以，即又，所以，故23解：（）是圆，是直线的普通方程为，圆心，半径的普通方程为因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点（）压缩后的参数方程分别为：（为参数）； ：（t为参数）化为普通方程为：，：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同24解：（）图像如下：11Oxy23424-1-2-28-4（）不等式，即，由得由函数图像可知，原不等式的解集为2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学一、 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M=x|3<x5,N=x|5<x<5,则MN=(A) x|5x5 (B) x|3x5(C) x|5x5 (D) x|3x5（2）已知复数，那么=（A） （B） （C） （D）（3）平面向量a与b的夹角为， 则 （A） (B) (C) 4 (D)12（4）已知圆C与直线xy=0 及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（A） (B) (C) (D) （5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种（6）设等比数列 的前n 项和为，若=3 ，则 =（A） 2 （B） （C） （D）3（7）曲线y= 在点（1，1）处的切线方程为（A）y=x2 (B) y=3x+2 (C)y=2x3 (D)y=2x+1 (8)已知函数=Acos()的图象如图所示，则=（A） (B) (C) (D) （9）已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（A）A>0,V=ST (B) A<0,V=ST (C) A>0, V=S+T（D）A<0, V=S+T（11）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2ABCDEFH（12）若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +（A） (B)3 (C) (D)4（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.（14）等差数列的前项和为，且则 （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 （16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。（17）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 （19）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） （20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明讲 已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。（1） 求证：AD的延长线平分CDE；（2） 若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。（23）（本小题满分10分）选修44 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数。（1）若解不等式；（2）如果,求 的取值范围。参考答案二、 选择题（每小题5分，共60分）(1) 【答案】B 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. (2) 【答案】D 【解析】 (3) 【答案】B 【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 (4) 【答案】B 【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可. (5) 【答案】A【解析】直接法：一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种；间接法：任意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医生有C414种,于是符合条件的有8410470种.(6) 【答案】B【解析】设公比为q ,则1q33 q32，于是 (7) 【答案】D 【解析】y,当x1时切线斜率为k2 (8) 【答案】B 【解析】由图象可得最小正周期为， 于是f(0)f(),注意到与关于对称，所以f()f() (9) 【答案】A【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|)； 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性；得|2x1| 解得x (10) 【答案】C 【解析】月总收入为S,因此A0时归入S,判断框内填A0 支出T为负数,因此月盈利VST (11) 【答案】C 【解析】由于G是PB的中点,故PGAC的体积等于BGAC的体积 在底面正六边形ABCDER中 BHABtan30AB 而BDAB 故DH2BH 于是VDGAC2VBGAC2VPGAC (12) 【答案】C 【解析】由题意 所以, 即2令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1)，52t2log2(t1)与式比较得tx2；于是2x172x2) (13) 【答案】1013 【解析】1013 (14) 【答案】 【解析】Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 (15) 【答案】4 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于2434 (16) 【答案】9 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立. (17)解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 (18) （18）（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MGCD，MG=2，NG=.因为平面ABCD平面DCED，所以MG平面DCEF，可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 6分解法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(1,1,2).又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分(19) （19）解：（）依题意X的分列为01234P 6分（）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，,所求的概率为 12分 (20) （20）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 4分（）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分(21) (21)解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有12分（22）解：（）如图，设F为AD延长线上一点A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC又AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即AD的延长线平分CDE.（）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AHBC.连接OC,A由题意OAC=OCA=150, ACB=750,OCH=600.设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。（23）解：（）由 从而C的直角坐标方程为（）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为（24）解：（）当a=1时，f(x)=x1+x+1.由f(x)3得x1+x+1|3x1时，不等式化为1x1x3 即2x3不等式组的解集为，+),综上得，的解集为 5分（）若，不满足题设条件 若，的最小值为 若，的最小值为 所以的充要条件是|-1|2，从而的取值范围为2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数的共轭复数是（A） （B） （C） （D）（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A） (B) （C） (D) （3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A） （B） （C） （D）（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A） （B） （C） （D）（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A） （B） （C）2 （D）3（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A） （B）4 （C） （D）6（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是（A） （B） （C） （D）（11）设函数的最小正周期为，且，则（A）在单调递减 （B）在单调递减（C）在单调递增（D）在单调递增(12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。（16）在中，则的最大值为 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设 求数列的前项和.(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB/OA， MAAB = MBBA，M点的轨迹为曲线C。（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，的长是关于的方程的两个根。（）证明：，四点共圆；（）若，且，求，所在圆的半径。(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中。（）当时，求不等式的解集（）若不等式的解集为 ，求a的值。2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D二、填空题（13）-6 （14） （15） （16）三、解答题（17）解：（）设数列an的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）故所以数列的前n项和为(18)解：（）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为 （19）解（）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=20.04+20.54+40.42=2.68(20）解：()设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.（21）解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故h （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时h （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0（22）解：（I）连接DE，根据题意在ADE和ACB中， ADAB=mn=AEAC, 即.又DAE=CAB,从而ADEACB 因此ADE=ACB 所以C,B,D,E四点共圆。（）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A=900，故GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5（23）解：（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 即 从而的参数方程为（为参数）（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.（24）解：（）当时，可化为。由此可得 或。故不等式的解集为或。() 由的 此不等式化为不等式组或即 或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故