高中数学剖析平面向量的常见错误

高中数学：剖析平面向量的常见错误 一、 忽视两向量夹角的定义致错例1：已知中，求的值错解: =剖析:两非零向量与夹角必须是从同一起点出发,且（）,而的夹角不是,而是的补角,即正解: =二、 忽视两向量夹角的范围致错例2：已知向量=2，=2，求与夹角错解:由得即2即 剖析: 此题忽略了两非零向量夹角的取值范围为，从而错误地写出 正解: 在内，使的角只有一个，三、 忽视分类讨论致错例3：已知中，有一个内角为直角，求实数的值错解: 由得=则剖析: 因为为直角三角形，哪一个角是直角没有明确给出，所以在解题中应分三种情况进行讨论正解: 若 由=得 若 则 又则 得 若 则 即 整理得无实数解，故不存在实数综上所述：当或时，有一个内角为直角四、 把向量等同线段出错例4：已知，求证：错解: 由， 得 所以 ， 故 剖析: 上述错解主要把向量等同于线段导致错误中学阶段定义的向量运算有：加法、减法、数乘、数量积，没有写法正解: 由，从而得证五、 忽视充要条件出错例5：已知向量， 与夹角为，当向量与的夹角是锐角时，求实数的范围错解: 与的夹角是锐角 （）（）即 ， 且 = 即 解得或剖析: 两向量与夹角为锐角时，其数量积大于；但反之不然，当两向量与夹角为，即两向量共线时，数量积也大于正解: 当时， 与的夹角为，此时（）（） 故应舍去， 从而的取值范围为或且评注： 若为直角，则； 若为钝角，则 且反向不共线；若为锐角，则 且同向不共线六、 忽视向量特性致错例6：已知和都是非常向量，且，求与的夹角错解: 由题得即由得 又为非常向量 把 得 ，设与夹角为则 剖析: 在上述解法中，由得到，因为两边均为实数，两边均为向量，我们没有学过向量的除法，不能随便约去，这是实数运算与向量运算的重要区别之一正解: 由 、得 即 代入得， 即= 设与夹角为，则