30.特殊的裂项技巧.特别的精神享受

中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)特殊的裂项技巧.特别的精神享受裂项求和的基本思想 裂项求和法的关键是把数列的通项分裂为具有递推关系的两项差,这也是裂项求和法的基本思想.裂项求和法需要你的创造性,裂项求和法能给你带来特别的精神享受.母题结构:用裂项求和法,求数列an的前n项和Sn.解题程序:对通项an进行恒等变形,使得an=f(n+1)-f(n)或an=f(n)-f(n+1);若an=f(n+1)-f(n),则Sn=f(n+1)-f(1);若an=f(n)-f(n+1),则Sn=f(1)-f(n+1). 1.整式裂项 子题类型:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有自然数n,都有Sn=-an.()写出数列an的前三项; ()求数列an的通项公式(写出推证过程);()令bn=(nN+),求数列bn的前n项和.解析:()由Sn=-anS1=2-a1a1=S1=a2=a3=;()由Sn=-anan+1=Sn+1-Sn=(-an+1)-(-an)(n+3)an+1=nan+3(n+1)(n+2)(n+3)an+1=n(n+1)(n+2)an+3(n+1)(n+2);令xn=n(n+1)(n+2)an,则x1=8,xn+1=(n+1)(n+2)(n+3)an+1xn+1=xn+3(n+1)(n+2)xn+1-xn=(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)xn=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+(xn-xn-1)=8+n(n+1)(n+2)-6=2+n(n+1)(n+2)an=1+;()由bn=n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)bn的前n项和Tn=n(n+1)(n+2)(n+3).点评:常见的整式裂项:n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1),n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)等,由此可得:12+22+n2=n(n+1)(2n+1);13+23+n3=2. 2.函数裂项 子题类型:(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知f(x)在(-1,1)上有意义,f()=-1,且满足x、y(-1,1)时,有f(x)+f(y)=f().()数列xn满足x1=,xn+1=,设an=f(xn),求an的通项公式;()设bn=n2+3n+1,求1+f()+f()+f()+f()的值.解析:()a1=f(x1)=f()=-1,an+1=f(xn+1)=f()=2f(xn)=2anan=-2n-1;()令x=y=0f(0)=0;令y=-xf(x)+f(-x)=0;f()=f()=f()=f()+f(-)=f()-f()1+f()+f()+f()+f()=1+f()-f()+f()-f()+f()-f()+f()=0.点评:利用函数方程进行裂项的关键有二:判断并利用函数的奇偶性;灵活赋值,使得所求函值f(an)=f(g(n+1)-f(g(n). 3.三角裂项 子题类型:(2011年安徽高考试题)在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n1.()求数列an的通项公式;()设bm=tanantanan+t,求数列bn的前n项和Sn.解析:()设c1,c2,cn+2构成等比数列,其中c1=1,cn+2=100,则cicn+3-i=c1cn+2=100(i=1,2,n+2),Tn=c1c2cn+2Tn=cn+2cn+1c1,式得:(Tn)2=(c1cn+2)(c2cn+1)(cn+2c1)=100n+2Tn=10n+2an=lnTn=n+2;(II)由tan1=tan(k+1)-k=tan(k+1)tank=tan(k+1)-tank-1bk=tanaktanak+1=tan(k+2)tan(k+3)=tan(k+3)-tan(k+2)-1Sn=b1+b2+bn=(tan4-tan3)-1+(tan5-tan4)-1+tan(n+3)-tan(n+2)-1=tan(n+3)-tan3-n.点评:常见的三角裂项:tan(k+1)tank=tan(k+1)-tank-1;=tan(n+1)-tann;cosn=sin(n+1)-sin(n-1)等. 4.子题系列:1.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)设边长为1的正ABC的边BC上有n等分点,沿点B到点C的方向,依次为P1,P2,Pn-1,若Sn=,求证:Sn=.2.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题.2009年青海初赛试题)数列an满足:a1=,an+1=.令xk=a1+a2+ak,yk=+,k=1,2,3,求.3.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)对任意的正整数n,证明恒等式:=.4.(2010年全国高考试题)已知数列an的前n项和Sn=(n2+n)3n.()求通项an(原为求); ()证明:+>3n.5.(2014年山东高考试题)已知等差数列an的公差为2,前n项和为S2,且S1,S2,S4成等比数列.()求数列an的通项公式; ()令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.6.(2005年第一届北方数学奥林匹克邀请赛试题)定义在R上的函数f(x)满足:f(0)=0;对任意x、y(-,-1)(1,+),都有f()+f()=f();当x(-1,0)时,都有f(x)>0.求证:f()+f()+f()>f(). 5.子题详解:1.解: 设=a,=b,则=(b-a)=+=a+(b-a)=a+b(k=0,1,2,n)=(a+b)(a+b)=a2+(+)ab+b2=+(+)+=n2-n+k2+k(k=0,1,n-1)Sn=n3-n3+(n-1)n(2n-1)+(n-1)n=.2.解:由an+1=-=1=n+1an=-xk=,yk=k(k+1)(k+2)xkyk=k2(k+2)=n(n+1)(3n2+11n+4).3.解:由=(-)=-=1-=n(n+1)=;4.解:()由Sn=(n2+n)3nan=2n(n+2)3n-1;()当n=1时,=6>31;当n2时,由an=Sn-Sn-1+=+=(-)S1+(-)S2+-Sn-1+Sn>Sn=3n>3n.5.解:()an=2n-1;()由bn=(-1)n-1=(-1)n-1(+);当n为偶数时,Tn=(1+)-(+)+(+)-+(+)-(+)=1-=;当n为奇数时,Tn=(1+)-(+)+(+)-(+)+(+)=1+=.6.解:在f()+f()=f()中,令y=-x得:f()+f(-)=f(0)=0f(x)在(-1,1)上是奇函数;当-1<x1<x2<0时,则由(1+x1)(1-x2)>0x1-x2>x1x2-1-1<<0f()>0f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()=f()>0f(x1)>f(x2)f(x)在(-1,0)上单调递减f(x)在(0,1)上单调递减,且f(x)<0f()<0;所以,f()=f()=f()=f()=f()+f(-)=f()-f()f()+f()+f()=f()-f()>f()>f().