用数学思维备战高考.ppt

中国人民大学,安徽大学,我们的理想,请同学们爱护教室的公物和卫生!,以人为本相约命题人,用数学思维备战高考,主讲人：匡大章,解题先解人,高考想到出题难,考纲如镜法如山,几支梅艳三寒苦,一道题成百汗干,缘遇遭遇各有因,殊途同归大局稳,解题先解出题人,看到题型想题根,与命题人相约,（一）考题是在这样制作,（三）试卷是按板块划分,（二）考纲是在这样修订,（四）创新题不与考生为难,（一）考题是在这样制作,高考出题,在很多人的心中是件“神秘的事”.,由于保密,故有人称高考出题是“暗箱操作”.,其实,高考出题是非常透明的“阳光工程”.,考什么?怎么考?在考试大纲及其”说明”中讲的十分明白.,只是我们有时只注意到了要考查的内容细节,而忽略了考查的命题思想和命题过程.,更少有人去考虑命题过程中的机遇和遭遇.,2008年全国1卷第10题的设计,【考点】直线与圆的位置关系,【题序】选择题第3组710号位,【难度】偏易题难度0.7左右,【入口】视角大交汇广选择多入口宽,【能力】突出数学思想倡导会想少算,【期待】一般生少量演草尖子生一望而答,【同根】文理共有题根文理要求有别,第10题根基的审查,【代数设计】已知一次方程ax+by=1和二次方程x2+y2=1,方程组有解的条件是a2+b21.,【代数追根】方程组消y后化归到一元二次方程,根基是一元二次方程的判别式。,【几何设计】已知一次直线ax+by=1和单位圆x2+y2=1,直线与圆有公共点的条件是a2+b21.,【几何追根】点和直线的位置关系,圆心到直线的距离不大于圆的半径。,第10题的演变,【初稿】已知一次直线ax+by=1和单位圆x2+y2=1,直线与圆有公共点的条件是a2+b21.,【说明】这种演变，是题根从代数模型向几何模型的倾斜：,从代数上看，一次方程变复杂了，,从几何上看，截距式方程变简单了！,【终稿】已知直线和单位圆x2+y2=1,直线与圆有公共点的条件是.,2008年全国1卷文科第10题,【说明】考点选择：直线与圆的位置关系有公共点。,直线选择了斜截式，圆选择了单位圆。,【考题】若直线与圆有公共点，则ABCD,问题设计：求参数a，b所满足的条件。,舍直求迂出题人苦心不遇,【考题】若直线与圆有公共点，则ABCD,【点评】数形结合可贵，公式死板太迂,截迂为直一望而答,【考题】若直线与圆x2+y2=1有公共点，则ABCD,【点评】特殊一般、部分整体。,【解二】设圆心到直线的距离为,截迂为直，一望而答！,2008年全国1卷文科第10题,【解三】（代数进入）直线方程与圆方程联立，消y得,【考题】若直线与圆有公共点，则ABCD,【点评】等价转换可贵，数形结合倒置！,（a2+b2）x22ab2x+a2b2-a2=0,令判别式大于等于0，解得答案D,运算量大繁！,2008年全国1卷文科第10题,【解四】取a=b=1/2,淘汰B和C,【考题】若直线与圆x2+y2=1有公共点，则ABCD,【点评】特殊一般、偶然必然。,取a=2，b=1/2,淘汰A,答案只能为D.,特值淘汰法，一望而答。,2008年全国1卷理科第10题的命制,【改理】将圆的方程x2+y2=1参数化：,【文题】若直线与圆x2+y2=1有公共点，则ABCD,问题改成：直线过点M（cos，sin）,设x=cosy=sin,【说明】在文、理姐妹题中，理题比文题多一道“弯”！,2008年全国1卷理科第10题,【转文】点M（cos，sin）的轨迹是圆x2+y2=1.,【理题】若直线过点M（cos，sin），则ABCD,以下转为文科第10题求解.,【点评】命题如制谜，解题如猜谜，制谜时用数学思想转换，猜谜时用数学思想还原！,2008年理科第10题解法,【思考】点M（cos，sin）的轨迹是圆x2+y2=1.,【理题】若直线过点M（cos，sin），则ABCD,以下可以转为文科第10题求解.,但是，如果不转化为文科的单位圆，有直接的解法吗？,2008年理科第10题的直解,【直解】点M（cos，sin）在直线上，则有,【理题】若直线过点M（cos，sin），则ABCD,【思考】你能由此推出吗？,会想少算形繁实简,【问题】你能由推出吗？,【提示】,【口答】sin(+)=1,直解简单，不必转文！,2008年全国1卷第10题妙解,【妙解】直线到原点的距离有最大值1，但无最小值。,【理题】若直线过点M（cos，sin），则ABCD,【点评】肯定否定、有限无限。思想激活，一望而答！,（1）2010年高考数学大纲是2009年的延续.,（二）考纲是在这样修订,（2）试题设计的创新程度，要符合中学教学实际与学生实际.,（4）三角函数、立体几何两个模块的具体要求降低,（3）易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主体，较难题不超过30%，中档题和容易题不低于70%.,（5）多想少算，凸显思维，不在草稿纸上比高矮。,试卷布局，从大题开始：,（三）设计试卷按板块划分,（2）隐性的两大板块或在大题中交叉，或在小题中填补。,（1）六道大题，安排着高中数学的六大显形板块。,（3）显性六大板块是：三角、立几、概率、解几、函数、数列。,（4）隐性的两大板块是：不等式、向量。,（5）还有离散小块；线性规划、排列组合、二项式定理、复数等，它们在大题中作辅助支撑，或在小题中单独出题。,第16题（12分），解三角形（三角函数）.文理一样,2009年安徽卷6大板块的分布,第18题（12分），(文）解析几何（椭圆与圆）（理）立体几何（解四棱锥）.,第17题（12分），概率统计（数学应用题）.文统计茎叶图理离散分布列,第20题（12分），(文）立体几何（线面关系）（理）解析几何（椭圆）,第19题（12分），（文）数列通项求和（不等式）（理）函数导数（讨论单调性）.,第21题（12分），（文）函数导数（讨论单调性）（理）数列（不等式）.,【分析】(1)解、证不等式和向量没有单独设大题.,(2)数学应用题转到概率统计.,(3)函数和函数方程思想渗透到各个板块.,09年安徽卷15道客观题的板块归属,第1题，复数代数计算（0）,第9题，导数（1）,第2题，集合运算（7）,第10题，概率（2）,第11题，空间坐标（正态分布）（0）,第3题，线性规划（解析几何）（0）,第4题，充要条件（7、3）,第12题，算法框图（参数方程）（0）,第5题，数列（6）,第13题，几何概率（算法框图）（0）,第7题，解析几何（线性规划）（0）,第6题，解析几何（函数图像）（0）,第8题，函数图像（三角函数）（0）,第14题，向量（0）,第15题，立体几何（1、5）,【说明】显形板块6个：（1）三角函数；（2）立体几何；（3）函数，（4）概率统计；（5）解几；（6）数列.,隐形板块1个：(7)不等式.,（四）创新题不与考生为难,创新的要求提的很高，新题型也喊得很响。但是它必须服从高考稳定的需要。,反复强调：新题型的新立意、新情景、新设问、新解答，新应用等，必须为高中生可以接受。,为了新而不难，这几年新课程考区的数学试题，凡有“创新”的题目，的确没有与考生为难！,高考稳定就是社会稳定！,(A)x1>x2>x3(B)x1>x3>x2(C)x2>x3>x1(D)x3>x2>x1,【说明】本题基本不涉及高中数学知识.有些初中生也可解出.,【例】图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数（假设：单位时间内，上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则,高考试题初中能解,【例】图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数（假设：单位时间内上述路段中，同一路段,(A)x1>x2>x3(B)x1>x3>x2(C)x2>x3>x1(D)x3>x2>x1,上驶入与驶出的车辆数相等），则,【初中生的解答】段上的车辆数x1有两部分组成，一是从A口进来的50辆，二是从段上分流过来的x355，于是有x1=50+x3-55=x3-5，所以x1<x3，同理得x3x2>x3(B)x1>x3>x2(C)x2>x3>x1(D)x3>x2>x1,【高中生的困惑】有些高中生敏于文字信息，而疏于图形信息.而此题的文字只给了一个数学情境，数据及其关系都在图中.这就是某些高中生交白卷的原因.,上驶入与驶出的车辆数相等），则,以上考题连初中生（甚至小学生）都会做，而有高中生解不出，故有人说：高中数学知识学的越多，解新题就越困难.这句话显然是错的，困难的原因不是“难”而是“新”，用死套路去解新题目，自然会失败.,不因为“难”只因为“新”,x1-x3=5055<0得x1<x3遗憾的是，有些高中生所学的“比较法”，只能“比较”旧题目.,其实，利用高中数学“实数比大小”，比较法可以很快得到：,趣事家长也能解此题,有一位家长，不知是不是一位司机，反正，他看到此题，认为非常容易，甚至“不需要数学”，你听他唱：,x1、x3比大小看看A口就知晓出的多来进的少所以x1比x3小,其实，他的“比大小”就是数学，可能是学究们不明白的“另种数学”.,新考题所留下的印象,（1）数学背景不生，数学情景很熟；,（3）数学内容不偏，数学沟通很广；,（6）数学设问不难，数学入口很宽；,（9）数学问题不刁，数学思想很活；,（4）数学方法不旧，数学应用很新；,（5）数学知识不杂，数学叙述很详；,（2）数学理论不深，数学实践很重；,（7）数学抽象不怪，数学形象很多；,（8）数学研究不虚，数学科普很实；,让数学的思维展开翅膀,对一道有关圆锥曲线课本习题的解法探析,高考题可以说是源于课本而高于课本，正是此原因，我们在一轮复习时要抓着课本，吃透课本习题，展开思维的想象，我们可以选取课本上的较为典型的习题，进行深入的研究和论，用以前学过的旧知识解决学习中遇到的新题，加强知识的横向联系，拓宽思维的灵活性和广阔性。这样当我们面对高考试题时会不慌忙，从容以对。,选修3-2（文科选修2-1）章节复习题：,分析：这是一道很好的复习题，一是从思维的角度看，它有很多求解的切入点；二是通过对其解法的归纳、总结，我们能对圆锥曲线的性质及一般解题方法和规律理解得更深刻。,案例1：,由题意得：a=,思路1：,思路5：,思路3：,思路6：,思路4：,思路2：,思路1：在解析几何中，两直线垂直通常用斜率乘积等于-1来表示。,解法1：由得,又点P在椭圆上，,联立得,所以：满足条件的点有四个，即,思路2：由于P是椭圆上的动点，当时，可以把它看成在以为直径的圆周上运动，因此把P点看成两条曲线的交点，就可以求P点的坐标了。,解法2：,P点在以为直径的圆周上，故有,上式与联立，即可求出满足条件的4的点。以下同解法1.,思路3：两条直线的垂直关系可以用向量来表示，即相应的两个向量的数量积等于零，因此可以构造向量来解决。,解法3：,以下同解法1.,思路4：在直角三角形F1PF2中，因为斜边已知，如果两条直角边能用P点坐标表示，那么利用勾股定理就可以解决，而表示PF1、PF2用焦半径公式就很简单。,解法4：由焦半径公式：,以下略。,思路5：由于P点在椭圆上，所以点P坐标可以用椭圆的参数方程来表示，这样减少了未知数，用勾股定理建立方程就可以了。,由勾股定理，得,思路6：,利用面积的两种方法，建立方程求解：,解法6：,小结：上述的每一种解法都蕴含着一种数学思想。从上述解法中，我们可以得到这样的启示：解析几何中解有关垂直问题，关键在于准确把握“垂直”这一概念是如何反映的，其核心就是“转化”的思想，将“垂直”转化为符号语言、图形语言，从中寻找规律，实施解题，这正是解决数学问题的一般规律，需要很好地掌握。,赠言：,当你是地平线上一棵草的时候，不要指望别人会在远处看到你，即使他们从你身边走过甚至从你身上踩过，也没有法，因为你只是一棵草；而如果你变成了一棵树，即使在很远的地方，别人也会看到你，并且欣赏你，因为你是一棵树！-俞敏洪,再见！,