瞬时变化率导数1

放大放大从上面的图形变化过程来看：从上面的图形变化过程来看：l1Ol2Pl1，l2问题一：问题一：试判断哪一条直线在点试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；附近更加逼近曲线；问题二：问题二：在点在点P附近能作出一条比附近能作出一条比l1 ， l2更加逼近曲线更加逼近曲线的直线的直线l3吗？吗？问题三：问题三：在点在点P附近还能作出比附近还能作出比l1，l2 ，l3更加逼近曲线的更加逼近曲线的直线吗？直线吗？PQoxy割割线线切线切线lyf(x) 如图，设如图，设Q为曲线为曲线C上不同于上不同于P的一点，直线的一点，直线PQ称为曲线的割线称为曲线的割线. . P为已知曲线C上的一点，如何求出点如何求出点P P处的切线方程？处的切线方程？随着点随着点Q沿曲线沿曲线C向点向点P运动，割线运动，割线PQ在点在点P附近逼近曲线附近逼近曲线C，当当直线直线l，这条直线这条直线l也称为曲线在点也称为曲线在点P处的切线这种方法叫割线逼处的切线这种方法叫割线逼近切线近切线. .点点Q无限逼近点无限逼近点P时，直线时，直线PQ最终就成为经过点最终就成为经过点P处最逼近曲线的处最逼近曲线的yOxPQ试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率Qx分析：设分析：设P( (2，4) )，QQ( (xQQ，f( (xQQ)2()44222QQPQQQQf xxkxxx则割线PQ的斜率为 当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4 从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的切线斜率为422(2)444Pxkxxxxx Q2422QPQQQxkxx2Qxx 令，练习：练习：试求试求f (x)x21在在x1处的切线斜率处的切线斜率2Qxx所以 解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为： 当xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的切线斜率为4解：设P(2，4)，Q(2x，(2x)2)，则割线PQ的斜率为： 当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)x2在点(2，4)处的切线斜率为42(1)1222PQxkxxxxx2 练习：练习：试求试求f (x)x21在在x=1处的切线斜率处的切线斜率 当当割线逼近切线，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜割线斜率逼近切线斜率率Q解：由题意，设解：由题意，设P( (1，2) )，Q( (1x，( (1x) )21) )，则割线，则割线PQ斜率斜率为为 当当x无限趋近于无限趋近于0时，时，kPQ无限趋近于常数无限趋近于常数2，从而曲线从而曲线f( (x) )x21在点在点x1处的切线斜率为处的切线斜率为2yxOy = f(x) xx0X0 xPQf (x0+ x) f (x0)切线切线割线割线x2.求出割线求出割线PQ的斜率的斜率 ，并化简，并化简. 求曲线求曲线y=f (x)上一点上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤：处切线斜率的一般步骤：3. 令令x 趋向于趋向于0，若上式中的割线斜率若上式中的割线斜率“逼近逼近”一个常数，一个常数， 则其即为所求切线斜率则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点设曲线上另一点Q(x0+x,f(x0 + x)（即（即 y)()00()PQf xxf xkx变式训练：变式训练： 课堂练习：练习：练习：割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率 Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近令横坐标无限接近函数在区间xP ， xQ (或xQ，xP）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数导数)