2019高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程（第2课时）圆的一般方程讲义（含解析）新人教A版必修2.doc

第2课时圆的一般方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P121P123，回答下列问题(1)方程x2y22x4y10表示什么图形？x2y22x4y60表示什么图形？提示：对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，它表示圆心为(1，2)，半径为2的圆；对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形(2)把x2y2DxEyF0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆？提示：得到的方程为22.当D2E24F>0时，该方程表示以为圆心， 为半径的圆；当D2E24F0时，方程只有实数解x，y，即只表示一个点；当D2E24F<0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形2归纳总结，核心必记圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为 .问题思考所有形如x2y2DxEyF0的二元二次方程都表示圆吗？提示：不是，只有当D2E24F>0时才表示圆课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)圆的一般方程是什么？怎样求？；(2)怎样由一般方程确定圆心和半径？.已知圆心(2,3)，半径为2，其标准方程为(x2)2(y3)24.思考1上述方程能否化为二元二次方程的形式？名师指津：可以，x2y24x6y90.思考2方程x2y24x6y130是否表示圆？名师指津：配方化为(x2)2(y3)20，不表示圆思考3怎样理解圆的一般方程？名师指津：(1)圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项(2)对方程x2y2DxEyF0的说明：讲一讲1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径尝试解答(1)据题意知，D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解练一练1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程(1)不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，D2E24F2a20，方程(3)表示圆，它的圆心为，半径r |a|.讲一讲2求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标尝试解答设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，解得所求圆的方程为x2y28x6y0，4，3，圆心为(4，3)，半径r 5.应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.练一练2求经过两点A(4,2)，B(1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程解：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D；令x0，得y2EyF0，所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E；由题设，x1x2y1y2(DE)2，所以DE2.又A(4,2)，B(1,3)两点在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0，由可得D2，E0，F12，故所求圆的方程为x2y22x120.讲一讲3已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程思路点拨(1)设出C点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为1列出方程，注意A、B、C三点不能共线；(2)设出M点坐标，利用中点关系，建立M点与C点坐标之间的关系，求出轨迹方程尝试解答(1)法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3，且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法二：同法一得x3，且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3，且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3，且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3，且x1)用代入法求轨迹方程的一般步骤练一练3已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法，见讲1.(2)应用待定系数法求圆的方程的方法，见讲2.(3)代入法求轨迹方程的一般步骤，见讲3.3本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件，如讲1.课下能力提升(二十三)学业水平达标练题组1圆的一般方程1圆的方程为(x1)(x2)(y2)(y4)0，则圆心坐标为()A(1，1)B. C(1,2) D.解析：选D将圆的方程化为标准方程，得2(y1)2，所以圆心为.2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D.解析：选A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k2>0，即k<1时才能表示圆3若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A2或2 B.或 C2或0 D2或0解析：选C由圆的方程得圆心坐标为(1,2)再由点到直线的距离公式得，解得a2或a0.4若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_.解析：由题意，知D4，E8，r4，F4.答案：45求过点(1,1)，且圆心与已知圆x2y26x8y150的圆心相同的圆的方程解：设所求的圆的方程为 x2y2DxEyF0，又圆x2y26x8y150的圆心为(3,4)，依题意得解此方程组，可得所求圆的方程为x2y26x8y0.6已知圆C: x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程解：圆心C，圆心在直线xy10上，10，即DE2.又半径长r，D2E220.由可得或又圆心在第二象限，0，即D0.则故圆的一般方程为x2y22x4y30.题组2轨迹方程7(2016日照高一检测)设圆x2y24x2y110的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是_解析：设M的坐标为(x，y)，由题意可知圆心A为(2，1)，P(2x2,2y1)在圆上，故(2x2)2(2y1)24(2x2)2(2y1)110，即x2y24x2y10.答案：x2y24x2y108已知圆O的方程为x2y29，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹解：设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知APOP.当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x1；当x0时，y0；当x0，且x1时，有kAPkOP1，kAP，kOP，1，即x2y2x2y0(x0，且x1)经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆能力提升综合练1若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1C3 D3解析：选B圆x2y22x4y0的圆心为(1,2)，3xya0过点(1,2)，即32a0，a1.2如果圆x2y2DxEyF0(D2E24F>0)关于直线yx对称，则有()ADE0 BDECDF DEF解析：选B由圆的对称性知，圆心在直线yx上，故有，即DE.3(2016 衡水高一检测)直线yx1上的点到圆x2y24x2y40的最近距离为()A2 B.1C21 D1解析：选C圆心(2,1)到已知直线的距离为d2，圆的半径为r1，故所求距离dmin21.4已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4C8 D9解析：选B设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|2|PB|，知 2，化简得(x2)2y24，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4.5关于方程x2y22ax2ay0表示的圆，下列叙述中：圆心在直线yx上；其圆心在x轴上；过原点；半径为a.其中叙述正确的是_(要求写出所有正确命题的序号)解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(a，a)，半径为|a|，故正确答案：6M(3,0)是圆x2y28x2y100内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为_，最短的弦所在的直线方程是_解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦易求出圆心为C(4,1)，kCM1，最短的弦所在的直线的斜率为1，由点斜式，分别得到方程yx3和y(x3)，即xy30和xy30.答案：xy30xy307点A(2,0)是圆x2y24上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、Q为圆上的动点(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ的中点的轨迹方程解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x2,2y)点P在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段AP的中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，即x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2y2xy10.8已知圆C: x2y24x14y450，及点Q(2,3)(1)P(a，a1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值解：(1)点P(a，a1)在圆上，a2(a1)24a14(a1)450，a4，P(4,5)，|PQ|2，kPQ.(2)圆心C的坐标为(2,7)，|QC|4，圆的半径是2，点Q在圆外，|MQ|max426，|MQ|min422.