甘肃省张掖市2018-2019学年高二数学上学期期末联考试卷 理（含解析）.doc

甘肃省张掖市2018-2019学年高二上学期期末联考理科数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。)1.命题“，”的否定是A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题，应该是，故选B.考点：特称命题的否定.2.等差数列中，若，则等于（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】试题分析：因为，等差数列中，所以，由等差数列的性质，得，2a5=15a5,a5=5，故选C.考点：等差数列的性质3.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2y23=1的渐近线的距离是（）A. 12 B. 3 C. 1 D. 32【答案】B【解析】【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】因为抛物线y2=8x的焦点坐标为（2,0），双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=3x,由点到直线的距离公式可得d=21+13=3.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的简单性质和点到直线的距离公式，属于基础题型.4.椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1F1F2，MF1=43，MF2=143，则离心率e等于（）A. 58 B. 56 C. 53 D. 54【答案】C【解析】【分析】由题意，利用勾股定理求得F1F2，由椭圆的定义求得2a,即可求出离心率.【详解】由题意，因为MF1F1F2，MF1=43，MF2=143，所以F1F2=（143）2-（43）2=25=2c，2a=43+143=6，所以e=ca=53.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型.5.实数x，y满足x+2y30x+3y30y1，则z=yx的最大值是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得出结果.【详解】由约束条件x+2y-30x+3y-30y1画出平面区域，如下图所示，化目标函数z=y-x为y=x+z,由图可知，当直线y=x+z过点A时，目标函数取得最大值，易知A(0,1),所以zmax=1.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题型.6.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点.若AB=a，AD=b AA1=c，则向量BM=（ ）A. 12a+12b+c B. 12a+12b+cC. 12a12b+c D. 12a12b+c【答案】A【解析】试题分析：BM=BB1+B1M=AA1+12B1D1=AA1+12(A1D1A1B1)=AA1+12(ADAB)=12a+12b+c。故A正确。考点：平面向量的加减法。7.已知椭圆的中心为原点，离心率e=32，且它的一个焦点与抛物线x2=-43y的焦点重合，则此椭圆方程为（）A. x2+y24=1 B. x24+y2=1 C. x216+y24=1 D. x24+y216=1【答案】A【解析】【分析】先求出焦点坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而可求出a,b，进而可得椭圆方程.【详解】因为抛物线x2=-43y的焦点为(0,-3),所以椭圆的焦点在y轴上，所以c=3，又e=32，所以a=2，所以b2=a2-c2=1，故椭圆的标准方程为x2+y24=1.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题型.8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=120，a=7，c=5，则sinBsinC=（）A. 85 B. 58 C. 53 D. 35【答案】D【解析】【分析】由已知及余弦定理可得b2+5b-24=0, 求出b的值，再由正弦定理即可求出结果.【详解】因为A=120，a=7，c=5，由余弦定理可得：72=b2+52-2b5cos120，整理可得b2+5b-24=0，解得b=3或b=-8（舍），所以由正弦定理可得sinBsinC=bc=35.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型.9.直线y=x+2与曲线y22xx2=1的交点个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】作出曲线y22-xx2=1的图像，利用y=x+2是y2+x2=2的切线，渐近线方程为y=x,即可得出结论.【详解】当x0时，曲线方程为y22-x22=1,图形为双曲线在y轴的右半部分；当x<0时，曲线方程为y2+x2=2，图形为圆在y轴的左半部分；如图所示，因为y=x+2是y2+x2=2的切线，渐近线方程为y=x,所以直线y=x+2与曲线y22-xx2=1的交点个数为1.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.10.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A. 63 B. 155 C. 105 D. 255【答案】C【解析】【分析】连结A1C1交B1D1于点O,由AB=BC，可证A1C1B1D1，进而可得A1C1平面BB1D1D，从而可得C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，解三角形即可求出结果.【详解】由题意，连结A1C1交B1D1于点O,连结BO，因为AB=BC=2，所以ACBD,故A1C1B1D1，又长方体中平面BB1D1D平面A1B1C1D1，所以直线A1C1平面BB1D1D，所以C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角.又C1O=12AB2+BC2=2，BC1=BC2+CC12=5，所以sinC1BO=C1OBC1=105.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，属于基础题型.11.已知lga+lgb=lg2，aa2+2+bb2+2的最大值是（）A. 22 B. 2 C. 2 D. 22【答案】D【解析】【分析】由题意可得正数ab满足b=2a,代入原式可得aa2+2+bb2+2=2a+2a，由基本不等式即可求出结果.【详解】因为lga+lgb=lg2，所以lgab=lg2，所以正数ab满足ab=2即b=2a，所以aa2+2+bb2+2=aa2+2+2a（2a）2+2=2a+2a222=22，当且仅当a=2a即a=2时取等号.【点睛】本题主要考查基本不等式，属于基础题型.12.已知双曲线C:x2a2y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1c,0，F2c,0，若双曲线C在第一象限内存在一点P使asinPF1F2=csinPF2F1成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A. 1,3+1 B. 1,2+1 C. 2+1,+ D. 1,22+1【答案】B【解析】【分析】在PF1F2中，运用正弦定理，结合条件由离心率公式可得PF1=ePF2,再由双曲线的定义，可得2a=PF1-PF2=(e-1)PF2,由存在点P，可得PF2>c-a,解不等式即可求出结果.【详解】在PF1F2中,可得PF2sinPF1F2=PF1sinPF2F1，由asinPF1F2=csinPF2F1可得e=ca=sinPF2F1sinPF1F2=PF1PF2,即PF1=ePF2，由双曲线的定义可得2a=PF1-PF2=(e-1)PF2，由存在点P，可得PF2>c-a，即有2a>(e-1)(c-a),由e=ca可得(e-1)2<2,解得1<e<1+2.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于一般题型.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）13.命题“若x22x3>0，则x<1或x>3”的逆否命题是_。【答案】若-1x3,则x22x30【解析】【分析】找出命题的条件与结论，根据逆否命题的定义将其全部否定，再颠倒位置即可.【详解】命题条件为：x22x3>0，结论为：x<1或x>3，所以将其否定后颠倒位置可得：若1x3，则x22x30，即为逆否命题.【点睛】本题考查逆否命题的书写，需熟练掌握命题条件与结论的拆分与逆否命题的定义.14.不等式4x11的解集是_。【答案】,15,+【解析】【分析】将不等式4x-11经过移项通分转化为(x-1)(x-5)0且x-10，从而可求出结果.【详解】因为4x-11，所以4-x+1x-10,即5-xx-10,等价于(x-1)(x-5)0且x-10,所以原不等式的解集为x-,-15,+.【点睛】本题主要考查分式不等式解法，属于基础题型.15.对于曲线x2xy+y2=1有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线y=x对称；（4）x1且y1其中正确的有_（填上相应的序号即可）。【答案】（2）、（3）【解析】【分析】(1) )曲线x2-xy+y2=1中含有xy项，方程不表示圆；(2) 将x换成-x，且将y换成-y，方程不变;(3) 将x，y互换，方程不变;(4)取x=12，求出y=1134；【详解】(1)曲线x2-xy+y2=1中含有xy项，方程不表示圆；(2)在原方程中，同时将x换成-x，且将y换成-y，方程不变，就说明曲线关于原点对称；(3)在原方程中，将x，y互换，方程不变，因此曲线关于直线y=x对称；(4)x=12时，y2-y2-34=0,所以y=1134，不满足y1，因此(4)不正确.故答案为(2),(3).【点睛】本题主要考查轨迹方程问题，属于基础题型.16.已知数列an满足1a1+22a2+32a3+.+n2an=nn+122,nN*，数列bn满足bn=anan+1，则数列bn的前n项和Sn=_。【答案】nn+1【解析】【分析】先由题中条件求出数列an的通项公式，再由bn=anan+1求出数列bn的通项公式，再由裂项相消法即可求出数列bn的前n项和.【详解】因为1a1+22a2+32a3+.+n2an=nn+122，所以1a1+22a2+32a3+.+（n-1）2an-1=nn-122（n2）两式作差得n2an=n3,所以an=1n(n2)，又a1=1，故an=1n（nN+）,所以bn=anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1,因此Sn=b1+b2+bn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和数列的前n项和，属于基础题型.三、解答题（共7小题，满分60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知p:2x23x+10,q：x2(2a+1)x+a(a+1)0（1）若a=12，且pq为真，求实数x的取值范围;（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）x|12x1；（2）0a12【解析】试题分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：12x1，q：axa+1，所以a=12时，p：12x32由pq为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到a12a+11，解该不等式组即得实数a的取值范围试题解析：（1）为真p真q真 P真：则设A=x|2x23x+10=x|12x1，q真：B=x|x2(2a+1)x+a(a+1)0=x|axa+1a=12，B=x|12x32x|12x1实数x的取值范围为:x|12x1（2）由（1）知设A=x|x|12x1，B=x|axa+1p是q的充分不必要条件，A是B的真子集 a12a+1>1或a<12a+11解得0a12，实数a的取值范围为：0a12考点：1复合命题的真假；2必要条件、充分条件与充要条件的判断18.已知不等式mx2-2x+m-2<0。(1) 若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2) 设不等式对于满足m2的一切m的值都成立，求x的取值范围。【答案】（1）,12； （2）(0，1).【解析】【分析】(1)分m0和m0两种情况讨论，当m0时，只需结合二次函数的性质解决问题即可；(2)把m看成自变量，则左边即可看成关于m 的一次函数，只需m=2时的函数值小于或等于2即可，列出不等式即可求解.【详解】(1) 对所有实数x，都有不等式mx2-2x+m-2<0恒成立，即函数fx=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方，当m0时，-2x-2<0，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有m<0=4-4mm-2<0解得m<1-2，综上可知m的取值范围是-,1-2(2) 设gm=x2+1m-2x-2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2+1>0知gx在2，2上为增函数，则由题意只需g2<0即可，即2x2+2-2x-2<0，解得0<x<1，所以x的取值范围是(0，1)【点睛】本题主要考查二次函数的性质和函数恒成立问题，属于基础题型.19.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cosB+C=1。（1）求角A的大小；（2）若a=23，b+c=4，求ABC的面积。【答案】（1）23； （2）3.【解析】【分析】(1)由题意和二倍角公式可得cosA的方程，解方程结合角的范围，即可求出角A；(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入数据可得bc的值，再由面积公式即可求出结果.【详解】（1）在ABC中cos2A+3cosB+C=1，2cos2A-1-3cosA=1，即2cos2A-3cosA-2=0，解得cosA=-12，或cosA=2（舍去），由A0,可得A=23；（2）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=b+c2-bc，代入数据可得12=16bc，解得bc=4，A=23的面积S=12bcsinA=12432=3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型.20.已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2（1）求an、bn的通项公式（2）若cn=anbn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn。【答案】（1）an=n，bn=2n,nN*； （2）2n+22n.【解析】【分析】(1)利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项、公差，即可求出an的通项公式，由数列bn的前n项和Sn=2bn-2，可求出数列bn的首项和公比，从而可得数列bn的通项公式；(2)由错位相减法即可求出数列的前n项和.【详解】（1）数列an为等差数列，a3=3，a7=7，设公差为da1+2d=3a1+6d=7，解得a1=1d=1，an=1+n-11=nnN*数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn-2，b1=S1=2b1-2，解得b1，当n2时，由Sn=2bn-2及Sn-1=2bn-1-2，两式相减，得bn=22n-1=2n,nN*，bn=2bn-1，bn是首项为2，公比为2的等比数列，bn=22n-1=2n,nN*（2）cn=anbn=n2n，数列cn的前n项和：Tn=12+222+.+n2n，12Tn=122+223+.+n2n+1，得：12Tn=12+122+123+.+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1 =1-n+22n+1，Tn=2-n+22n【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，以及数列的求和，属于基础题型.21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=600（）求证：PBAD；（）若PB=6，求二面角APDC的余弦值。【答案】（1）证明见解析；（2）55【解析】试题分析：（1）取AD的中点E，利用菱形和等边三角形的三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直和线线垂直；（2）先利用勾股定理和线面垂直的判定定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解试题解析：（）证明：取AD的中点E，连接PE,BE,BDPA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且BAD=600，PAD和ABD为两个全等的等边三角形，则PEAD,BEAD,AD平面PBE，又PB平面PBE，PBAD；（）解：在PBE中，由已知得，PE=BE=3，PB=6，则PB2=PE2+BE2，PEB=900，即PEBE，又PEAD，PE平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（2，3，0），D（1，0，0），P（0，0，3），则3（1，0，3），DP（1，3，0），由题意可设平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0)；设平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0)，由已知得：x+3z=0,x+3y=0,令y1，则x=3，z1，n=(3,1,1)；则mn=1，所以cos<m,n>=mn|m|n|= 15= 55，由题意知二面角APDC的平面角为钝角，所以二面角APDC的余弦值为15=考点：1空间中垂直关系的转化；2利用空间向量求二面角【方法点睛】本题考查空间中垂直关系的相互转化及空间向量在立体几何中的应用，属于中档题；在考查立体几何问题时，往往将传统几何和空间向量结合在一起，先判定空间中的线线、线面的平行或垂直关系，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解【此处有视频，请去附件查看】22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2。（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由。【答案】（1）x212+y24=1； （2）P322,102，直线l:x5y22=0，或P322,102，直线l:x+5y22=0【解析】【分析】(1) 设Fc,0，可得直线l的方程为y=x-c，运用点到直线距离公式，可求出c,再由离心率公式即可求出a,b从而可得椭圆方程;(2) 设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0, 设y=kx-22k0代入椭圆方程消元，再由韦达定理和向量的坐标运算，求出点P的坐标，代入椭圆方程，即可求出结果.【详解】（1）设Fc,0，可得直线l的方程为y=x-c，即为x-y-c=0，由坐标原点O到l的距离为2，即有2=c2，解得c=22，由e=ca=63，可得a=23，b=2，即有椭圆的方程为x212+y24=1；（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，当直线的斜率存在，设其方程为：y=kx-22k0由x2+3y2=12y=kx-22，消去y得1+3k2x2-122k2x+24k2-12=0x1+x2=122k21+3k2，y1+y2=kx1+x2-42=k122k21+3k2-42=-42k1+3k2，OP=OA+OB，x0=x1+x2=122k21+3k2，y0=y1+y2=-42k1+3k2将P点坐标代入椭圆得122k21+3k22+3-42k21+3k22=12，（舍去），即为当时，直线，当时，直线当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，依题意，四边形OAPB为菱形，此时点P不在椭圆上，即当直线的斜率不存在时，不适合题意；综上所述，存在P，且，直线，或，直线【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于中档试题.