2019高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率（第1课时）倾斜角与斜率讲义（含解析）新人教A版必修2.doc

第1课时倾斜角与斜率核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P82P86，回答下列问题：在平面直角坐标系中，直线l经过点P.(1)直线l的位置能够确定吗？提示：不能(2)过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条(3)上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同2归纳总结，核心必记(1)直线的倾斜角倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.(2)直线的斜率斜率的定义：一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度问题思考(1)任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的(2)斜率与直线的倾斜程度有何对应关系？提示：当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合(呈水平状态)课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线的倾斜角是什么样的角？怎样理解？；(2)直线的斜率是什么？如何理解？.观察下面图形：思考1上述图形中各直线的倾斜角各是什么？提示：上述图形中直线的倾斜角为角 .思考2直线倾斜角定义中包含哪几类情况？提示：包括钝角、锐角、直角和零角思考3怎样理解直线的倾斜角？名师指津：(1)倾斜角定义中含有三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等讲一讲1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0<135时，倾斜角为45；当135<180时，倾角为135尝试解答根据题意，画出图形，如图所示：因为0<180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0<135，l1的倾斜角为45；当135<180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.答案D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.练一练1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(0<<90)，则其倾斜角为()A B180C180或90 D90或90解析：选D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.观察下面图形：日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度.思考1对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以思考2通过比较，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等思考3倾斜角与斜率k有什么关系？名师指津：直线的倾斜角和斜率的关系：(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大讲一讲2(1)如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，求l1、l2的斜率；(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率尝试解答(1)l1的斜率k1tan 1tan 30.l2的倾斜角29030120，l2的斜率k2tan 120tan(18060)tan 60.(2)当a3时，斜率不存在；当a3时，直线的斜率k.求直线斜率的两种类型一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况练一练2(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_；(2)过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_解析：(1)直线AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5.(2)由斜率公式k1，得m1.答案：(1)5(2)1讲一讲3已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(链接教材P85例1)(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围思路点拨结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA.尝试解答如图，由题意可知kPA1，kPB1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，的取值范围是45135.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解练一练3已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，(1)求直线AB和AC的斜率(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线倾斜角的方法，见讲1.(2)求直线斜率的方法，见讲2.(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系，见讲3.3本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错，如讲3.课下能力提升(十五)学业水平达标练题组1直线的倾斜角1给出下列说法，正确的个数是()若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为0的直线只有一条；直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系A0 B1 C2 D3解析：选A若两直线的倾斜角为90，则它们的斜率不存在，错；直线倾斜角的取值范围是0，180)，错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0，错；不同的直线可以有相同的倾斜角，错2(2016达州高一检测)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A0<90 B90<180C90<<180 D0<<180解析：选C直线倾斜角的取值范围是0<180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90<<180.题组2直线的斜率3已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A5 B8 C. D7解析：选C由斜率公式可得1，解得m.4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数a的值为_解析：A、B、C三点共线，kABkBC，即，a2或.答案：2或5已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值解：由题意直线AC的斜率存在，即m1.kAC，kBC.3.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.题组3直线斜率的应用6若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A45，1 B135，1C90，不存在 D180，不存在解析：选C由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90，斜率不存在故选C.7已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B. C1 D.解析：选A由题意可知，ktan 30.8(2016河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4,2)，则此直线的倾斜角是()A30 B45 C60 D90解析：选A设直线的倾斜角为，直线斜率k，tan .又0180，30.9已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围解：设l的斜率为k，倾斜角为.当m1时，斜率k不存在，90.当m1时，k，当m1时，k0，此时为锐角，090；当m1时，k0，此时为钝角，90180.所以(0，180)，k(，0)(0，)能力提升综合练1下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin >0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 解析：选D对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0<180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.2如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()Ak1k2k3Bk1k3k2Ck2k1k3Dk3k2k1解析：选A根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确3(2016株洲高一检测)过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y()A B.C1 D1解析：选Ctan 45kAB，即1，所以y1.4如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是()A0,1 B0,2C. D(0,3解析：选B过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限5已知A(1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和2，则点P的坐标是_解析：设点P(x，y)，则有2，且2，解得x1，y6，即点P的坐标是(1,6)答案：(1,6)6(2016合肥高一检测)若经过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_解析：k且直线的倾斜角为钝角，<0，解得2<a<1.答案：(2,1)7已知直线l上两点A(2,3)，B(3，2)，求其斜率若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a时，b的值解：由斜率公式得kAB1.C在l上，kAC1，即1.ab10.当a时，b1a.8点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，求的取值范围解：的几何意义是过M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率点M在函数y2x8的图象上，且x2,5，设该线段为AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范围为.