2019-2020年高考数学一轮总复习 第五章 数列课时训练 理.doc

2019-2020年高考数学一轮总复习 第五章 数列课时训练 理1. 已知数列，2，根据数列的规律，2是该数列的第_项答案：7解析：由于2311，5321，8331，则数列的通项公式为an，由2，得n7.2. 已知数列an满足：a12，an1(n2，3，4，)，则a12_答案：1解析：an是一个以3为周期的周期数列，所以a12a34a31.3. 已知数列an的前n项和Snn22n1，则an的通项公式为_答案：an解析：当n1时，a1S14；当n2时，anSnSn12n1， an 4. 数列7，9，11，2n1的项数是_. 答案：n3解析：易知a17，d2，设项数为m，则2n17(m1)2，mn3.5. 已知数列an的前n项和为Sn，a12，an1Sn1，nN*，则a6_答案：48解析：当n2时，an1Sn1，anSn11，两式相减，得an1anSnSn1an，即an12an，则a2a113，a32a26，a42a312，a52a424，a62a548.6. 设ann210n11，则数列an从首项到第_项的和最大答案：10或11解析：由n210n110得1n11，又nN*， 0n11. 前10项为正，第11项为0. 7. 已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10_答案：30解析：由已知得a4a2a212，a8a4a424，a10a8a230.8. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_答案：解析：前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.9. 已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2.求a3，a5.解：令m1，n2，得a1a32a22(12)2，故a36；令m3，n1，得a5a12a32(31)2，故a520.10. 已知数列an满足a10，an1(nN*)，求a20.解：由a10，an1(nN*)，得a2，a3，a40，由此可知：数列an是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20a2.11. 已知数列an的通项公式an(n1)0.9n，求n为何值时，an取得最大值解： a120.91.8，a230.812.43， a1<a2， a1不是数列an中的最大项设第n项an的值最大，则即解得 当n为8或9时，an取得最大值第2课时等 差 数 列1. 在等差数列an中，a1，a2a54，an33，则n_答案：50 解析： a1，a2a54， d，an(n1)33， n50.2. (xx重庆)在等差数列an中，a12，a3a510，则a7_答案：8解析：等差数列an中，a1a7a3a5，则a7a3a5a11028.3. 在等差数列an中，若a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9_答案：27解析： a1a4a739，a2a5a833，两式相减得d2， a3a6a9a2a5a83d33627.4. (xx苏锡常镇二模)已知Sn为等差数列an的前n项和，a11，S36，则S6_答案：39解析：由题设知a11，a2a37，则d3，而a615d14，S6(114)39.5. (xx江西)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取最大值，则d的取值范围为_答案：解析：由题意知：a8>0，a9<0，则1<d<.6. 设数列an是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n_答案：5或6解析：由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大7. 已知等差数列an满足a23，SnSn351(n>3)，Sn100，则n_答案：10解析：由SnSn351，得an2an1an51，所以an117.又a23，Sn100，解得n10.8. 设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，a1a4a799，a2a5a893，若对任意nN*，都有SnSk成立，则k的值为_答案：20解析：(解法1)由对任意nN*，都有SnSk成立，知Sk是Sn的最大值由等差数列的性质，得a1a72a4，a2a82a5，代入已知条件，得a433，a531，则公差da5a42，a1333d39， Sn39n(2)n240n(n20)2400，则当n20时，Sn有最大值，故k的值为20.(解法2)由题设对任意nN*，都有SnSk成立，知求k的值即求Sn最大时的项数n.由等差数列的性质，有a1a72a4, a2a82a5，代入已知条件，得a433，a531，则公差da5a42，a1333d39， an392(n1)412n.由即解得19.5<n20.5， 当n20时，Sn取得最大值，故kn20.9. (xx常州期末)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，已知S3a5，S525.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若p、q为互不相等的正整数，且等差数列bn满足b1，bapp，baqq，求数列bn的前n项和Tn.解：(1) 由已知，得解得 an2n1.(2) p，q为正整数，由(1)得ap2p1，aq2q1.由已知，得b2p1p，b2q1q. bn是等差数列，pq， bn的公差d. Tnnb1d.10. 在数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0.(1) 求数列的通项公式；(2) 设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解：(1) an22an1an0， an2an1an1an， an1an为常数数列， an是以a1为首项的等差数列，设ana1(n1)d，a4a13d， d2， an102n.(2) an102n，令an0，得n5.当n>5时，an<0；当n5时，an0；当n<5时，an>0.令Tna1a2an， 当n>5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tn；当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn. Sn11. 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130.(1) 求公差d的取值范围；(2) 指出S1，S2，S12中哪一个值最大，并说明理由解：(1) 依题意，有S1212a1d0，S1313a1d0，即由a312，得a1122d，将式分别代入，式，得 d3.(2) 由d0可知 a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值由S126(a6a7)0, S1313a70，即 a6a70，a70，由此得a6a70.因为a60，a70，故在S1，S2，S12中S6的值最大第3课时等 比 数 列1. 在等比数列an中，若a22，a632，则a4_答案：8解析：a6a2q4， q24， a4a2q28.2. (xx江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6_答案：4解析：设公比为q，因为a21，则由a8a62a4得q6q42q2，q4q220，解得q22，所以a6a2q44.3. 在等比数列an中，其前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9_答案：解析： S3，S6S3，S9S6成等比， (S6S3)2(S9S6)S3， S9S6， a7a8a9S9S6.4. (xx扬州期末)设Sn是等比数列an的前n项和，若a52a100，则的值是_答案：解析：当q1时，a5a100不合题意， 公比q1. q5，因而1q101.5. 已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_答案：解析：设数列an的公比为q.由题意可知q1，且，解得q2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式得S5.6. (xx徐州二模)在等比数列an中，已知a11，a48.设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列a的前n项和若S3ntTn，则实数t的值为_答案：7解析： a4a1q3q38， q2，S3n8n1.由题意知，数列a是首项为1，公比为8的等比数列， Tn(8n1)，由S3ntTn，得t7.7. (xx全国)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于_答案：4解析：由已知得q， a1， lga1lg. an为等比数列， lganlgan1lglg(n2)， lgan为等差数列 所求和为8lglg8(4lg23lg5)28(lg5lg2)4lg24lg54.8. 已知等比数列an满足an1an92n1，nN*，设数列an的前n项和为Sn.若不等式Snkan2对一切nN*恒成立，则实数k的取值范围是_答案：解析：设等比数列an 的公比为q，因为an1an92n1，nN*，所以a2a19，a3a218，所以q2，所以2a1a19，所以a13.所以an32n1，nN*，故Sn3(2n1)，即3(2n1)>k32n12，所以k<2.令f(n)2，则f(n)随n的增大而增大，所以f(n)minf(1)2，得k<.9. 已知an是首项为a1、公比q为正数(q1)的等比数列，其前n项和为Sn，且5S24S4.(1) 求q的值；(2) 设bnqSn，请判断数列bn能否为等比数列？若能，请求出a1的值，若不能，请说明理由解：(1) 由题意知5S24S4， . a10，q>0且q1， 4q45q210，解得q.(2) Sn2a1a1， bnqSn2a1a1.要使bn为等比数列，当且仅当2a10，即a1时，bn为等比数列， bn能为等比数列，此时a1.10. 已知等比数列an中，a52a4a2a4，前2m(mN*)项和是前2m项中所有偶数项和的倍(1) 求通项an；(2) 已知bn满足bn(n)an(nN*)，若bn是递增数列，求实数的取值范围解：(1) 由已知得a1a2a3a2m(a2a4a2m)，a1a3a5a2m1(a2a4a2m)， q2.又由a52a4a2a4，得a3q22a3qa，即q22qa3， a38， ana3qn32n. (2) bn是递增数列， bn1>bn对nN*恒成立即nN*时，(n1)2n1>(n)2n恒成立，得<n2对nN*恒成立，即<3.11. 已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1) 求数列an的通项an与前n项和Sn；(2) 设bn，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1) 解： S393， a23， d2， an1(n1)22n1， Snn2n.(2) 证明： bnn，假设数列bn存在不同的三项bp，bq，bm成等比数列， bbpbm， (q)2(p)(m)， q22qpm(pm)， (pm)20，得pm，与pm矛盾， 数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列第4课时数列的求和1. 若Sn1234(1)n1n，则S100_答案：50解析：S10012345699100(12)(34)(56)(99100)50.2. 设an是首项为1的正项数列，且(n1)an1nan0，(nN*)，则an_答案：解析：an0，则(n1)an1nan0，即.又a11，由叠乘法可得an.3. 设数列an中，a12，an1ann1，则an _答案：1解析： a12，an1ann1， anan1(n1)1，an1an2(n2)1，an2an3(n3)1，a3a221，a2a111，a1211，将以上各式相加得an(n1)(n2)(n3)21n1n1n11.4. 已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为_答案：解析： a55，S515， 15，即a11. d1， ann. .设数列的前n项和为Tn. T1001.5. 已知数列an则S100_答案：5000解析：由题意得S100a1a2a99a100(a1a3a5a99)(a2a4a100)(02498)(246100)5000.6. 在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于_答案：2n解析：因为数列an为等比数列，则an2qn1，又数列an1也是等比数列，则3，2q1，2q21成等比数列，(2q1)23(2q21)，即q22q10q1，即an2，所以Sn2n.7. 已知数列，则其前n项和为_答案：解析： an2()， Sn2()()()2().8. 已知数列an的通项an则其前n项和Sn_答案：Sn解析：奇数项组成以a11为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有项， Sn，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， Sn， Sn9. 已知an为等差数列，且a36，a60.(1) 求an的通项公式；(2) 若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，所以解得a110，d2，所以an10(n1)22n12.(2) 设等比数列bn的公比为q，因为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3，所以bn的前n项和公式为Sn4(13n)10. 已知数列an的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(nN)在函数f(x)x27x的图象上(1) 求数列an的通项公式及Sn的最大值；(2) 令bn，其中nN，求nbn的前n项和解：(1) 因为点Pn(n，Sn)(nN)均在函数yf(x)的图象上，所以有Snn27n，当n1时，a1S16，当n2时，anSnSn12n8，所以an2n8(nN)令an2n80得n4，所以当n3或n4时，Sn取得最大值12.综上，an2n8(nN)，当n3或n4时，Sn取得最大值12.(2) 由题意得b18，bn2n4，所以，即数列bn是首项为8、公比为的等比数列，即bn824n，故nbn的前n项和Tn123222n2n4 ，Tn12222(n1)2n4n2n3 ，所以得Tn23222n4n2n3，所以Tnn24n32(2n)24n.11. (xx全国)等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1) 由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0，104d0，解得d，因此d3.故数列an的通项公式为an133n.(2) bn()Tnb1b2bn()()().第5课时数列的简单应用1. 已知等差数列an的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2_答案：6解析：aa1a4，即(a14)2a1(a16)，解得a18，所以a26.2. 已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5_答案：31解析：设an的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，即a42.由a4与2a7的等差中项为，得a42a72， a7. q3，即q.a4a1q3a12， a116，S531.3. 一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_小时答案：5解析：由题意，n小时后有2n人得知，此时得知信息总人数为12222n2n1155.即2n156n16n5.4. 已知等差数列an的公差d0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是_答案：3解析：aa1a17，即(a14d)2a1(a116d)，即a1d2d20.又d0， a12d.公比q3.5. 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m甲、乙开始运动后，相遇的时间为_分钟答案：7解析：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n5n70，整理得n213n1400，解得n7，n20(舍去)6. 某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率(%)2.252.42.732.88某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%.则到期的本利和为_元答案：10 456解析：10 000(122.4%)10 00022.4%5%10 456.7. 如图，将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列a1，a2，a5，构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列若a45，a86518，则d_. 答案：1.5解析：第2行成公差为d的等差数列，可得：a2a42d52d，第n行的数的个数为2n1，从第1行到第n行的所有数的个数总和为n2，86925，第10行的前几个数为：a82，a83，a84，a85，a86，所以a86是第10行第5个数，所以a82a864d5184d.第一列a1，a2，a5，a10，a17，a26，a37，a50，a65，a82，构成一个公比为2的等比数列，故有a82a2285184d(52d)28，解得d1.5.8. 一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为(ad)元/m2，二层价格a元/m2，三层价格为(ad)元/m2，第i层(i4)价格为元/m2.其中a>0，d>0，则该商品房的各层房价的平均值为_答案：ad解析：a4a5a2017ad17a2d1()17 a1a2a2020a2d， 平均楼价为ad.9. 已知等差数列an中，首项a11，公差d为整数，且满足a13<a3，a25>a4；数列bn满足bn，其前n项和为Sn.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若S2为S1、Sm(mN*)的等比中项，求正整数m的值解：(1) 由题意，得解得<d<.又dZ， d2. an1(n1)22n1.(2) bn， Sn. S1，S2，Sm，S2为S1、Sm(mN)的等比中项， SSmS1，即，解得m12.10. 设等差数列an的前n项和为Sn，且a5a1334，S39.(1) 求数列an的通项公式及前n项和公式；(2) 设数列bn的通项公式为bn，问： 是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m3，mN*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由解：(1) 设等差数列an的公差为d. 由已知得即解得故an2n1，Snn2.(2) 由(1)知bn.要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2b1bm，即2，整理得m3.因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t2时，m7；当t3时，m5；当t5时，m4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列11. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于xx年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元其余部分全部在年底还建行贷款(1) 若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；(2) 若公寓管理处要在xx年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)？(参考数据：lg1.734 30.239 1，lg1.050.021 2，1.0581.477 4)解：(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000800(元)800 000(元)80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元依题意有：621(15%)(15%)2(15%)n1500(15%)n1.化简得62(1.05n1)251.05n1. 1.05n1.734 3.两边取对数整理得n11.28. 取n12(年) 到xx年底可全部还清贷款(2) 设每生和每年的最低收费标准为x元，因到xx年底公寓共使用了8年，依题意有(18)1(15%)(15%)2(15%)7500(15%)9.化简得(0.1x18)5001.059. x1010(18)10(1881.2)992(元)答：每生每年的最低收费标准为992元第6课时数列的综合应用1. 在等差数列an中，满足3a47a7，且a1>0，Sn是数列an的前n项和，若Sn取得最大值，则n_答案：9解析：设公差d，由题设知3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，则n9，当n9时，an>0，同理可得n10，an<0.故当n9时，Sn取得最大值2. 已知数列an满足a1，2an1(nN*)，则_答案：解析：条件化为，即3，所以3n1，故.3. 已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则_答案：32解析： a1，a3，2a2成等差数列， 2a3a12a2，即a3a12a2，设等比数列an的公比为q且q0，则a3a1q2，a2a1q， a1q2a12a1q， q212q，解得q1或1(舍)，q2(1)232.4. 已知各项均不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_答案：16解析：因为an为等差数列，所以a3a112a7，所以已知等式可化为4a7a0，解得a74或a70(舍去)，又bn为等比数列，所以b6b8ba16.5. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n_答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为an，公差为d，(d0)由题意知a110，anan1an2114，aa1an.由anan1an2114，得3an1114，解得an138，所以(a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得d2，所以an1a1(n2)d38，即102(n2)38，解得n16.6. (xx扬州期末)设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，则的最小值是_答案：21解析：由题设知Snnn2，又为等差数列，从而a1，从而ana1(n1)dd，Snn2， .令2n1t(t1)，原式，从而当t21时，即n11时，原式取到最小值21.7. (xx南京学情调研)已知an是等差数列，其前n项的和为Sn, bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和解：(1) 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN*.(2) 由题意知，cn(n1)2n.记Tnc1c2c3cn.则Tn22322423n2n1 (n1)2n，2 Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1，所以Tn22(22232n)(n1)2n1, 即Tnn2n1，nN*.8. 已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1) 求an的通项公式；(2) 记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值解：(1) 设数列an的公差为d，由题意知解得所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2) 由(1)可得Snn(n1)因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以aa1Sk2.从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6.9. 设数列an是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列bn的前n项和，且Snn22n.(1) 求an及bn的通项公式an和bn；(2) 若f(n)是否存在kN*使f(k27)4f(k)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解：(1) ana1(n1)d4n1n3.当n1时，b1S13.当n2时，bnSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.当n1时上式也成立， bn2n1(nN*) ann3，bn2n1.(2) 假设符合条件的k(kN*)存在，由于f(n) 当k为正奇数时，k27为正偶数由f(k27)4f(k)，得2(k27)14(k3) 2k43，k.(舍)当k为正偶数时，k27为正奇数，由f(k27)4f(k)，得(k27)34(2k1) 7k26， k.(舍)因此，符合条件的正整数k不存在10. 已知数列an为等比数列，Sn是其前n项的和，若Sk1，Sk3，Sk2(kN*)成等差数列(1) 求证：ak1，ak3，ak2也成等差数列；(2) 试比较SS与2S的大小(1) 证明： Sk1，Sk3，Sk2(nN*)成等差数列， Sk1Sk22Sk3， (Sk3Sk2)(Sk3Sk1)0，即ak3(ak3ak2)0，2ak3ak20， q. 2ak3(ak1ak2)ak1(2q2q1)0， ak1，ak3，ak2成等差数列(2) 解：(解法1) SS2S，又Sk2Sk1ak20，Sk2Sk1， SS>2S.(解法2)SS2S(12qk1q2k2)(12qk2q2k4)2(12qk3q2k6)2qk1(2q2q1)q2k2(1q22q4)q2k2(1q22q4)，(*) q， 1q22q412>0， 由(*)可知，SS2S.11. 已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足a11，Sn1Sn(3n1)an1(nN*)(1) 若0，求数列an的通项公式；(2) 若an1an对一切nN*恒成立，求实数的取值范围解：(1) 0时，Sn1Snan1.又an1Sn1Sn， SnSn. an0， Sn0. an1an. a11， an1.(2) Sn1Sn(3n1)an1，an0， 3n1.则31，321，3n11(n2)相加，得1(3323n1)n1.则Snan(n2)上式对n1也成立， Snan(nN*) Sn1an1(nN*)，得an1(n1)an1(n)an，即(n)an1(n)an. 0， n0，n0. an1an对一切nN*恒成立， n(n)对一切nN*恒成立即对一切nN*恒成立记bn，则bnbn1.当n1时，bnbn10；当n2时，bnbn10； b1b2是一切bn中的最大项综上所述，的取值范围是.