一阶可分离变量型微分方程.ppt

第二节,一阶可分离变量型微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的通解.,分离变量法,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例题,又,两端积分,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,例4,有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,思考题,为所求通解.,求解微分方程,也是解.,练习题,练习题答案,1、齐次方程P230,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,可化为分离变量的微分方程-齐次方程,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例2求解微分方程,解,微分方程的解为,例3抛物线的光学性质,实例:车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,入射角余角=反射角余角,由夹角正切公式,分离变量,积分得,得微分方程,平方化简得,抛物线,2、可化为齐次的方程,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,(2)有唯一一组解(h,k).,(1),(2),求通解,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,求通解,代回z=ax+by,解,代入原方程得,分离变量、积分得,得原方程的通解,方程变为,通解为,解,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答,方程两边同时对求导:,原方程是齐次方程.,练习题,练习题答案,