上海市杨浦区高三4月学业质量调研（二模）理科数学试题及答案

杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科）2015.4考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.函数的定义域是 .2.若集合，则的元素个数为 .3.若，则的值是 .4.的展开式中的常数项的值是 .5.某射击选手连续射击5枪命中环数分别为：，则这组数据的方差为 .6.对数不等式的解集是，则实数的值为 .7.极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 .8.如图，根据该程序框图，若输出的为，则输入的的值为 .9.若正数满足，则的取值范围是 .10.已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数等于 .11.已知方程的两根为，若，则实数的值为 .12.已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为 .13.已知，在坐标平面中有斜率为的直线与圆相切，且交轴的正半轴于点，交轴于点，则的值为 .14.对于自然数的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；则集合的所有非空子集的交替和的总和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.“”是“函数只有一个零点”的 （ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件16.在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（ ）A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线 17.设反比例函数与二次函数的图像有且仅有两个不同的公共点，且，则 （ ）A.2或 B.或 C.2或 D.或18.如图，设店是单位圆上的一个定点，动点从点出发，在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧的长为，弦的长为，则函数的图像大致是（ ）A. B. C. D.三 .解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，一条东西走向的大江，其河岸处有人要渡江到对岸处，江面上有一座大桥，已知在的西南方向，在的南偏西，公里.现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥渡江到处，然后再到处；方案二：直接坐船从处渡江到对岸处.若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达处，应选择哪个方案？说明理由. 20.（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点.（1）试确定点的位置，使得平面;（2）当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）.21.（本题满分14分，其中第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求的反函数；（3）对于任意的，解不等式：.22.（本题满分16分，其中第一小题5分，第二小题5分，第三小题6分）数列满足，（），令，是公比为的等比数列，设.（1）求证：；（2）设的前项和为，求的值；（3）设前项积为，当时，的最大值在和的时候取到，求为何值时，取到最小值.23.（本题满分18分，其中第一小题6分，第二小题6分，第三小题6分）已知抛物线的焦点，线段为抛物线的一条弦.（1）若弦过焦点，求证：为定值；（2）求证:轴的正半轴上存在定点，对过点的任意弦，都有为定值；（3）对于（2）中的点及弦，设，点在轴的负半轴上，且满足，求点坐标.9