2 第二型曲面积分

2 第 二 型 曲 面 积 分一 、 曲 面 的 侧二 、 第 二 型 曲 面 积 分 概 念三 、 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算 计 算 法四 、 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 联 系 一 、 曲 面 的 侧观 察 以 下 曲 面 的 侧 (假 设 曲 面 是 光 滑 的 )曲 面 分 上 侧 和 下 侧 曲 面 分 内 侧 和 外 侧 n曲 面 的 分 类 : 1.双 侧 曲 面 ; 2.单 侧 曲 面 .典型双侧曲面 莫 比 乌 斯 带典 型 单 侧 曲 面 : 播 放 实 例 : 流 向 曲 面 一 侧 的 流 量 .A vn cosA vAv n v A 流 量二 、 第 二 型 曲 面 积 分 概念 x yzoS iS ),( iii ivinivin(2) 0 1lim ( , , ) ( , , )( , , ) yz zxxyn i i i i i i i iT ii i i iE P S Q SR S 这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二曲面积分。定 义 1 0 1lim ( , , ) ( , , )( , , ) yz zxxyn i i i i i i i iT ii i i iP S Q SR S 或 x yzoS 存 在 条 件 :组 合 形 式 :( , , ) ( , , ) ( , , )S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 物 理 意 义 :( , , ) ( , , ) ( , , )S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 第 二 型 曲 面 积 分 也 有 如 下 性 质 存 在 ,则 有 三 、 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算 第 二 型 曲 面 积 分 也 是 把 它 化 为 二 重 积 分来 计 算 .定 理 22.2 证 由 第 二 型 曲 面 积 分 定 义00( , , )lim ( , , ( , )lim ( , , ( , ) xyxyS i i i i iT i i i i idR x y z dxdyR z SR z S 0( , , ( , ) lim ( , , ( , ) xyxy i i i i idD R x y z x y dxdy R z S ( , , ) ( , , ( , )xyS DR x y z dxdy R x y z x y dxdy 所 以 类 似 地 ，上 连 续 时 ， 有 上 连 续 时 ， 有 计 算 法 S ),( yxfz xyDx yzo xys)( 0 1( , , ) lim ( , , )( )n i i i i xyT iS R x y z dxdy R S ),( ,)()(,0cos, iii xyxyiz S 又 取 上 侧0 10 1lim ( , , )( )lim ( , , ( , )( )n i i i i xyT i n i i i i i xyT iR SR z ( , , ) , , ( , ) xyS DR x y z dxdy R x y z x y dxdy 即 ,)()(,0cos, xyxyiS 取 下 侧若 ( , , ) , , ( , )xyS DR x y z dxdy R x y z x y dxdy 则 有给 出由如 果 ,),( zyxx ( , , ) ( , ), , yzS DP x y z dydz P x y z y z dydz 则 有给 出由如 果 ,),( xzyy ( , , ) , ( , ), zxS DQ x y z dzdx Q x y z x z dzdx 注 意 :对 坐 标 的 曲 面 积 分 ,必 须 注 意 曲 面 所 取 的 侧 . 解 1 2把 S分 成 S 和 S2 21 1: 1 ;S z x y 2 22 2: 1 ,S z x y x yz 2S 1S 2 1S S Sxyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyxy DD dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222 xyD dxdyyxxy 2212 .1521cossin2 22 xyD rdrdrr 则 分 别 有 注 例 2 计 算解 曲 面 的 参 量 方 程 x yzo zD (8)由 (5)式 有其 中 四 、 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 联 系 xyD ),( yxfz Sx yzo dsn ( cos cos cos )S SPdydz Qdzdx RdxdyP Q R dS 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 联 系 解 2( )S z x dydz ,在 曲 面 S上 有2( )cosS z x ds 2 cos( ) cosS z x dxdy 22( )( )( ) SS z x dydz zdxdyz x x z dxdy xyD dxdyyxxxyx )(21)()(41 2222 xyD dxdyyxx )(21 222 20 22220 )21cos( rdrrrd .1 1cos,1cos 2222 yxyxx .8 六 、 小 结1、 物 理 意 义2、 计 算 时 应 注 意 以 下 两 点曲 面 的 侧“ 一 投 ,二 代 ,三 定 号 ” 思 考 题 设 为 球 面 1222 zyx ， 若 以 其球 面 的 外 侧 为 正 侧 ， 试 问 221 zxy 之 左 侧 （ 即 oy轴 与 其 法 线 成 钝 角 的 一 侧 ）是 正 侧 吗 ？ 那 么 221 zxy 的 左 侧 是 正 侧 吗 ？ 思 考 题 解 答此 时 的 左 侧 为 负 侧 ，221 zxy 而 的 左 侧 为 正 侧 .221 zxy 莫 比 乌 斯 带典 型 单 侧 曲 面 : 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带