2021年普通高等学校招生全国统一考试【北京卷】·数学 ﹙含答案﹚

2021年普通高等学校招生全国统一考试【北京卷】数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A. B. 4C. D. 25. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 6. 和是两个等差数列，其中为常值，则（ ）A. B. C. D. 7. 函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）A. B. C. D. 10. 数列是递增的整数数列，且，则的最大值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分11. 展开式中常数项为_12. 已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_；作轴于，则_13. ，则_；_14. 若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的_15. 已知函数，给出下列四个结论：若，则有两个零点；，使得有一个零点；，使得有三个零点；，使得有三个零点以上正确结论得序号是_三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度；周长为；面积为；17. 已知正方体，点为中点，直线交平面于点（1）证明：点为的中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有100人，已知其中2人感染病毒（1）若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)19. 已知函数（1）若，求在处切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值20. 已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|15，求k的取值范围21. 定义数列：对实数p，满足：，；，（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；（2）若是数列，求的值；（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由答案一、选择题1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.C二、填空题11.-4 12. (1). 5 (2). 13. (1). 0 (2). 314. （满足即可）15. 16. （1）；（2）答案不唯一 由余弦定理可得边上的中线的长度为：；则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.17. （1）证明见解析；（2）18. （1）次；分布列见解析；期望为（2）若时，；若时，；若时，.19. （1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.20.（1）；（2）21.（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；