《经济数学基础》应试策略(2008年12月)

经济数学基础期末考试应试策略一、考试流程图开始考试游览试卷按题目先后顺序开始解答比较紧张准备充分先解答容易再解答难题答卷完成后仔细检查自己满意后再交卷注：（1）考试时不能使用修正液、修正带等；（2）考试时不能使用计算器；（3）答题时不能使用铅笔，且字迹一定要端正、清楚；（4）答题时不能使用红色水笔、或红色园珠笔及钢笔；（5）单项选择题只要选择答案的代码即A、B、C、D中的一个，而不能选具体内容；（6）填空题只要填写结果，而不要写入具体的计算过程；（7）答计算题时，计算过程必须写在试卷上，不能写在草稿纸上，写在草稿纸上无效；（8）考试时请将一切通讯工具关闭并放在包内或口袋内，不能放在桌子上（最好不带）。二、考核的主要知识点（一）单项选题部分考核范围包括以下主要知识点：函数的奇偶性判断所给定的函数的奇偶性 （第1章）注：有时以“下列函数中，其图像关于轴对称的是”或“下列函数中，其图像关于原点对称的是”，实际上分别要你判断给定的函数是偶函数还是奇函数。无穷小（大）量 （第2章）（1）给出一个函数，判断何时为无穷小（大）量；（2）给出自变量的变化趋势，判断哪一个为无穷小（大）量）极限、连续、可导、可微的关系 （第3章）函数的性态 （第4章）（1）极值点、驻点、不可导点的关系；（2）判断函数在给定区间上的单调性、凹凸性。凑微分 （第5章）判断所给的凑微分等式哪一个正确（1）不定积分与求导的关系 （第5章）（2）定积分与求导的关系 （第6章）常微分方程 （第5章）（1）对于给定的常微分方程，判断哪一个为一阶线性常微分方程；（2）会判断哪一个是常微分方程的解（通解、特解）。线性方程组（齐次和非齐次）有解性的判别（二）填空题部分考核范围包括以下主要知识点：函数的定义域 （第1章）函数的对应规则 （第1章）（1）已知，求；（2）已知，求及和；（3）已知分段函数，求函数值。函数的连续性 （第2章）（1）根据函数在某一点连续的定义，求参数；（2）求连续区间、间断点。切线方程 （第3章）计算函数在某点处的切线方程简单复合函数的导数或微分 （第3章）需求弹性 （第4章）已知需求函数，求需求弹性原函数的概念 （第5章）（1）已知的原函数，求的导数（2）已知的原函数，求不定积分利用第一换元法求不定积分 （第5章）对称区间上的定积分 （第6章）变限定积分、无穷限广义积分 （第6章）（1）求变限定积分的导数（2）判断常见类型的无穷限广义积分的敛散性利用定积分求面积 （第6章）已知具体的函数，写出它们所围成的平面图形面积的计算公式矩阵的运算 （第9章）矩阵加、减、乘、转置运算 矩阵求秩 （第9章） 行列式的计算 （第9章）利用行列式定义计算三、四阶行列式 阶矩阵可逆的充要条件 （第9章）（三）计算题部分考核范围包括以下主要知识点：极限计算 （第2章）（1）第一个重要极限（2）第二个重要极限（3）等价无穷小量代换 复合函数求导（包括乘法、除法求导公式） （第3章）不定积分计算 （分部积分法 ） （第5章）数值积分 （第6章）包括梯形公式、抛物线公式解二阶矩阵方程 （第9章）解线性方程组 （第10章） （四）应用题考核范围包括以下主要知识点：最小平均成本（最小平均成本的产量） （第4、5、6章）最大利润（最大利润的产量）、利润的改变量 （第4、5、6章）三、答题程序（即答题方法或答题技巧）这里主要讲述针对具体的考核知识点应该用什么方法、什么公式来解题。（一）单项选题部分（1）若要判断所给定函数的奇偶性或判断“下列函数中，其图像关于轴对称的是”或“下列函数中，其图像关于原点对称的是。那么就要用关于函数奇偶性的定义和奇偶性的运算性质来判断。常用的奇函数有：，（），；常用的偶函数有：，（），等。（2）若题目中要确定一个变量为无穷大或无穷小量时，则首先根据无穷大或无穷小量的定义，再根据无穷小量的性质及无穷大与无穷小的关系来确定。常用的无穷小量有：当时，（），（），等；当时，（）等；当时，（）等。（3）若题目中要判断极限、连续、可导、可微关系时，则要根据它们的定义及相互之间的关系进行判断。它们之间的关系为：可微可导连续极限，反之均不成立；可微可导连续定义，反之均不成立。（4）若题目中要判断函数的性态（即单调性、凹凸性）。则将所给定的函数分别求一阶导数和二阶导数。若在所给定的区间内均成立，则在所给定的区间内是单调增加的，反之，就是单调减少的；若在所给定的区间内均成立，则在所给定的区间内是凹的，反之，就是凸的。（5）若题目中要求判断所给的凑微分等式哪一个正确。即只需将后面所的函数进行求微分后，再判断两个微分是否相等。例如：下列等式成立的有（ ）A B C DA由于，所以A不成立；B由于，所以B成立；C由于，所以C也不成立；D由于，因此D也不成立。所以正确答案应选B。（6）若题目中要求有关不定积分或定积分的导数与某一个函数或某一常数相等的式子是否成立。则要利用不定积分与求导的关系和定积分与求导的关系来解。（7）若题目中要求对于给定的常微分方程，判断哪一个为一阶线性常微分方程，或哪一个是常微分方程的通解、特解。则要利用一阶线性常微分方程的定义、通解及特解的定义。需要指出的是：导数的最高阶数即是微分方程的阶，未知函数及未知函数的导数都是一次时即是线性的，通解是含有任意常数的，而且任意常数的个数与该微分方程的阶数相同，特解是不含有任意常数的（但可以含有固定常数）。另外，不论通解或特解代入后都能原微分方程成为恒等式。（8）若题目中要求下列给出的矩阵哪一个能进行运算或当满足什么条件时运算才能进行，给出一个矩阵或行列式，要求该矩阵行列式或行列式的值是下列四个中的哪一个正确。这里请大家特别要注意的是：两个矩阵在什么条件下才能相乘，而且两个矩阵相乘后得到的矩阵应是多少行多少列的；一个矩阵转置后与原来的矩阵是什么关系。一个行列式实际上应该是一个数。（9）若题目中要求判定一个线性方程组的解的情况（包括有解、无解、有唯一解、有无穷多解）。此时要利用线性方程（齐次和非齐次）有解性的判定定理。（二）填空题部分（1）若题目中要求函数的定义域。根据给出的函数求出其有意义的区间，即求函数的定义域，主要掌握3点：分式的分母表达式不等于零；偶次根式内的表达式大于等于零；对数的真数表达式大于零。（2）若题目中给出，要求函数；或给出求及和。则利用函数的对应规则来解。（3）若题目中给出一个分段函数，且已知该函数在某一点连续，求参数或等。则应用函数在某一点连续的定义，根据连续的定义实际上是求该函数在该点的极限。（4）若题目中给出一个函数，要求该函数在已知点的切线方程。则应用切线方程的公式进行计算，根据切线方程实际上是求函数在给定点的导数值，即。（5）若题目中要求简单复合函数的导数或微分。利用复合函数的求导法则及微分的计算公式进行计算。复合函数求导法：先对中间量求导，然后再对自变量求导；微分计算时，先求导再乘以微分因子（一般应是）。（6）若题目中已知需求函数，求需求弹性。则利用需求弹性的计算公式；注意，有时需要求出当（即具体的数值）时的需求弹性。设需求函数，需求弹性的公式为：（7）若题目中已知一个函数的原函数，要求或求不定积分。则利用原函数的概念。注：请务必搞清楚不定积分与求导的关系。（8）若题目中出现简单的第一换元法求不定积分。则直接利用不定积分的3个常用推广公式（P108页），或者也可用凑微分的5个常用分类公式（P112页）。（9）若题目中出现求对称区间上的定积分。则利用函数的奇偶性进行计算。（10）若题目中出现求变限积分的导数或判定给出的广义积分是否收敛。则利用变限定积分的求导法则进行求导；利用常见的两类广义积分收敛的判别法进行判定，而不需将广义积分求出来再判断。（11）若题目中给出具体的函数，写出它们所围成的平面图形面积的计算公式。则利用平面区域面积伯计算公式。请注意：不论给出几个函数，在写公式时被积函数一定加上绝对值符号。（12）若题目中出现矩阵的运算时。要掌握矩阵加、减、乘、转置运算的定义及法则。（13）若题目中出现求矩阵的秩或求逆矩阵时。求矩阵（一般是三阶，最多是四阶的）的秩时，最好初等行变换将所给定的矩阵化为阶梯形矩阵，然后直接就可以得出该原矩阵的秩了；一般是二阶矩阵求逆，所以最好利用伴随矩阵来求。（14）若题目中出现求行列式的值。一般是三阶的，所以直接利用行列式的计算公式计算；即先将三阶降为二阶再进行计算。注意：尽量找零多的行展开，如没有零，尽可能地制造零。（15）若题目中出现求阶矩阵可逆的充分必要条件时。则利用阶矩阵可逆的充分必要条件。注：阶矩阵可逆；注：第一部分的单题和第二部分的填空题有可能是交叉的，即第二部分的内容可能在出现在第一部分的题目中；同样第一部分的内容可能出现在第二部分的题目中。（三）计算题部分1求极限（1）若题目中出现时。一般利用第一个重要极限公式进行曲计算。此时，主要是用推广的第一个重要极限公式。（2）若题目中出现或出现时。一般利用第二个重要极限公式进行曲计算。此时，主要是用推广的第二个重要极限公式。（3）若题目中出现分子和分母同时为零时。一般利用等价无穷小代换来进行计算。2求函数的导数或微分（1）若题目中出现复合函数求导。一般先对中间变量求导，然后再对自变量即求导。此时，除了必要的导数公式要记住外，还要掌握两个函数乘积及两个函数商的求导法则。（2）若是求微分的，一般先求出后再加上一个微分（如）。3不定积分一般是分部积分，此时主要是利用推广的分部积分公式；若不含时最好列表计算。但要注意：当被积函数中含有是不能用列表计算的。4数值积分（1）梯形公式。此时，不论是多少都可用；注：在具体计算时应写出和的值。（2）抛物线公式。此时，只适用于当是偶数时。同样，在具体计算时应写出和的值。5解矩阵方程。一般情况下，请先求出逆矩阵，再求出未知矩阵。当然，若是二阶的，最好用伴随矩阵求逆矩阵；三阶的一定用用初等行变换的方法去求逆矩阵。若方程为，则；若方程为，则。6线性方程组一般是解带有参数的线性方程组。此时，最好将增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵，先求出参数，判定原线性方程组是否有解（注：一般情况下都是有无穷多组解）；再将阶梯形矩阵化为行简化阶梯形矩阵，直接写出原线性方程组的一般解。（四）应用题部分（1）求最大利润（最大利润的产量）、利润的改变量。此时根据已知条件先列出总利润函数，然后求导；再令该边际利润等于零，求唯一驻点，即是最大利润的产量。若求利润的改变量，用定积分来求，被积函数就是该边际利润，下限就是最大利润的产量，上限就是要增加的数量加上最大利润的产量。注：当已知条件是边际利润时，就用不定积分来求利润函数；被积函数就是边际利润；注意，此时还要根据已知条件确定任意常数。（2）求最小平均成本（求最小平均成本的产量）。这时先根据已知条件求出总成本函数，再求出平均成本函数。接下来，求导，再令该导数等于零，求出唯一驻点，该驻点即是要求的最小平均成本的产量。注：此时的单位有两个如万元/吨或元/件。四、一般应试策略（适用于准备较充分且要得高分者）1先浏览一下试卷；然后按先后顺序认真、仔细答题单选题部分（在答题时要特别注意看清题目，如是与不是）2填空题要注意题目的要求；一般情况下若要求切线方程时不要整理，若求函数的定义域或连续区间时特别注意此区间是开的还是闭的或是半开闭，因为错一点就有扣分。3对于计算题；必要计算过程一定要写在试卷上。一般情况下至少要2到3步，千万不要直接一步就得出结果。若是求微分，一般还是先求导数，然后再求微分；若是解矩阵方程，同样也是先求出左边或右边系数矩阵的逆矩阵，然后再求出。4应用题；要别注意已知条件和初始条件。（1）根据已知条件先列出或求出总成本函数、总利润函数，然后再求出边际成本或边际利润（即求导）最后根据题目的要求计算最大利润的产量或利润的改变量。（2）根据已知条件先列出或求出总成本函数，然后再求出平均成本函数，接着求出边际平均成本（即求导）最后根据题目的要求计算最小平均成本的产量及计算出最小平均成本。5所有题目完成后，一定要认真、仔细检查。直到自己满意为止再交卷。五、高级应试策略（适用于准备一般且希望要得较好成绩者）1基本解题方法同一般应试策略。2不同点主要是：（1）先浏览一下试卷；熟悉一下试卷的内容。（2）根据自己的情况，会做的题目先做，尤其要先做大题目，（即10分的计算题和应用题）。（3）先做容易的。一般情况下，每份试卷一定有比较容易的题目，将容易的题目先完成，那么做后面的题目就比较定心了。这时再难一点题目也就不难了。（4）一般情况下，先做计算题和应用题。因为这两部分题目一般题型比较固定，同时出现难题的可能性不大。（5）对于选择题不论会还是不会，一定要做。这是因为有的概率。六、特殊应试策略（适用于基础较差且希望能通过者）1基本解题方法同一般应试策略。2不同点主要是：（1）把复习的重点放在第三部分与第四部分的内容上；也就是主要记住与计算题和应用题有关的主要公式与方法和结论。重点做计算题和应用题；一般情况下，只要能完成计算题和应用题70分中的60分应该就可以通过了。（2）在复习时一定反复将我们要求综合练习题中的计算题和应用题认真完成，且要基本理解题目的要求，并能独立完成。（3）由于计算题和应用题的题型比较固定，而且一般难度不大，要记忆的公式也不太多。所以只要经过努力（当然基础不能太差）应该可以通过。（4）考试时，第二部分填空题可以放弃（当然也有简单的要做一点）。但对第一部分绝对不可以放弃，一定要做，因为有的概率。经济数学基础主要公式一、两个重要极限，或；它的推广形式：，（其中），或；它的推广形式：若且，则。常用的等价无穷小量 时，、 、二、导数及微分1导数的定义，记作：，在函数任意一点导数的定义：2微分的定义3导数及微分主要公式：1； （为任意常数）2； （为任意实数）3 （）特别地 4 （）特别地 5 6 7 8 4复合函数求导法则：若函数在点可导，函数在点处可导，则复合函数在点可导，且：或记作5常用的复合函数求导公式： 1 （为常数）2 特别地：3 特别地：4；6求导与微分的基本法则设，均可微；是任意常数，则1； 2； 3； 特别地：； 4 7隐函数的导数 设方程确定隐函数，求（或）的步骤： 1、方程两边同时对求导数，求导过程中视为中间变量，得到含有的一个方程；2、从上述方程中解出（或将代入上述含有的方程，化简并解出）8曲线在点处的切线方程9导数的应用（1）单调性1设函数在区间上（内）连续，在内，则函数在区间上（内）单调增加；2设函数在区间上（内）连续，在内，则函数在区间上（内）单调减少。（2）极值点与极值设函数在点连续，是附近的任一点，且，1若在两侧附近均有，则称是函数的极大值，为极大值点；2若在两侧附近均有，则称是函数的极小值，为极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。（3）极值点的判定1极值点的必要条件：函数的极值点必为驻点或不可导点；（注：若，则称为的一个驻点。）2充分条件：若函数在点连续，在两侧附近的符号相异，则必为的极值点，否则一定不是的极值点，并且当在的左侧为负右侧为正时，为极小值点；当在的右侧为负左侧为正时，为极大值点。（4）凹凸性设设函数在区间上二阶可导，1若在内，则曲线在内是凹的；2若在内，则曲线在内是凸的；（5）经济函数的导数称为它们各自的边际函数1边际成本：成本函数对产量的变化率称为边际成本，记成；2边际收入：收入函数对产量的变化率称为边际成本，记成；3边际利润：利润函数对产量的变化率称为边际成本，记成。（6）设需求函数，则需求量对价格的弹性（7）设函数在区间上连续，在内可导，并且在内有唯一驻点，如果是函数的极小（大）值点，则必是的最小（大）值点。三、不定积分与定积分1不定积分1如果可导，则2如果存在原函数，则342常用的不定积分公式：1；2 （）；3；4 （，）；5；6；7；8；3常用的不定积分推广公式（即第一换元法）：1 （，）；2 （）；3 （）；4 （）；5 （）。4第一换元法的常用类型：1 （）；2；3；4；5。5分部积分公式为：分部积分的常用类型为：1 2 3 4 6推广的分部积分公式为：其中为的任一原函数，为的任一原函数，为的i阶导数。当时，上述推广公式为可以列表为： 7定积分1；23；4逐段连续奇函数在对称区间上的定积分等于，即5逐段连续偶函数在对称区间上的定积分等于一半区间上定积分的二倍，即8定积分在几何中的应用由曲线，与直线，围成平面图形面积的计算公式为9数值积分1数值积分的梯形公式及计算；2数值积分的抛物线（Simpson）公式及计算。 3无穷限广义积分的两个重要类型（1） 当时发散，当时收敛，并且；（2） 当时发散，当时收敛，并且四、线性代数1矩阵的转置，设矩阵，则。2矩阵乘法的运算规律：，；。3矩阵转置的运算规律，；。4设、为可逆矩阵，则当常数时，；（反序性）。5求逆矩阵n阶方阵可逆的充分必要条件为二阶方阵求逆：，当时，三阶以及三阶以上方阵求逆阵：6矩阵方程求解：若方阵可逆，则矩阵方程的解为若方阵可逆，则矩阵方程的解为7线性方程组有解的充分必要条件是增广矩阵的秩与系数矩的秩相等，即；8如果线性方程组有解，记，为未知数个数，则当，时，线性方程组有唯一解；当时，线性方程组有无穷多个解，解中包含个自由未知数；9对于齐次方程组必有解，且当，有唯一零解；当时，有无穷多个解，因此必有非零解；10行简化的阶梯形矩阵：如果矩阵满足以下条件，称为行简化的阶梯形矩阵，是阶梯形矩阵；的各行首非零元都等于1；的各行首非零元的同列其余元素都等于。11线性方程组（）的求解步骤：用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，如果，则线性方程组无解，否则，转入下一步；再用初等行变换把所得阶梯形矩阵化为行简化的阶梯形矩阵；把所得的行简化的阶梯形矩阵恢复成一个与同解的线性方程组；若，得到唯一解，若，写出含有个自由未知数的一般解。16