2723相似三角形（3）课件（新人教版九年级下）

相似三角形的证明 一 、 相 似 三 角 形 的 性 质 相 似 三 角 形 的 对 应 角 相 等 ,对 应 边 成 比 例 . 相 似 三 角 形 对 应 中 线 的 比 ,对 应 角 平 分 线 的 比 ， 对 应 高 的 比 ,对 应 周 长 的 比 都 等 于 相 似 比 . 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .二 .相 似 三 角 形 的 判 定 方 法定 理 1 两 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 .推 论 1 平 行 于 三 角 形 一 边 直 线 截 其 它 两 边 (或 其 延 长 线 ),所 截 得 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 ;定 理 2 三 边 对 应 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相 似 .定 理 3 两 边 对 应 成 比 例 ,且 夹 角 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 ;定 理 4 斜 边 直 角 边 对 应 成 比 例 的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 . 1. ABC中 ， BAC是 直 角 ， 过 斜 边 中 点 M而 垂 直 于 斜 边 BC的 直 线 交 CA的 延 长 线 于 E， 交 AB于 D， 连 AM. 求 证 ： MAD MEA A B C D E M 分 析 ： 已 知 中 与 线 段 有 关 的 条 件 仅 有 AM=BC/2=BM=MC,所 以 首 先 考 虑 用 两 个 角 对 应 相 等 去 判 定 两 个 三 角 形 相 似 。证 明 ： BAC=90 M为 斜 边 BC中 点 AM=BM=BC/2 B= MAD又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADE B= E MAD= E又 DMA= AME MAD MEA 1. ABC中 ， BAC是 直 角 ， 过 斜 边 中 点 M而 垂 直 于 斜 边 BC的 直 线 交 CA的 延 长 线 于 E， 交 AB于 D， 连 AM. 求 证 ： AM2=MD ME A B C D E M 分 析 ： AM是 MAD 与 MEA 的 公 共 边 ， 故 是 对 应 边 MD、ME的 比 例 中 项 。 MAD MEA 即 AM2=MDMEAMMD =MEAM 思 考 ： 证 明 等 积 式 的 一 般 方 法 是 什 么 ? 2.如 图 ， AB CD， AO=OB， DF=FB， DF交 AC于 E， 求 证 ： ED2=EO EC. A B CD E F O 分 析 ： 欲 证 ED2=EOEC， 即 证 ：只 需 证 DE、 EO、 EC所 在 的 三 角 形 相 似 。EDEO =ECED 证 明 ： AB CD C= A AO=OB， DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDC EOD ， 即 ED 2=EO ECEDEO =ECED 3.过 ABCD的 一 个 顶 点 A作 一 直 线 分 别 交 对 角 线 BD、 边BC、 边 DC的 延 长 线 于 E、 F、 G . 求 证 ： EA2 = EF EG . A B C D E F G 分 析 ： 要 证 明 EA2 = EF EG ，即 证 明 成立 ， 而 EA、 EG、 EF三条 线 段 在 同 一 直 线 上 ，无 法 构 成 两 个 三 角 形 ，此 时 应 采 用 换 线 段 、 换比 例 的 方 法 。 可 证 明 ： AED FEB， AEB GED.证 明 ： AD BF AB BC AED FEB AEB GED EAEG =ABDG EFEA =BEED= ABDG EAEG = EFEA EAEG =EFEA 4.已 知 在 ABC中 ， BAC=90 ， AD BC， E是 AC的 中 点 ， ED交 AB的 延 长 线 于 F. 求 证 : AB:AC=DF:AF. A D E F B C 分 析 ： 因 ABC ABD， 所 以要 证 即 证 ，需 证 BDF DAF.AFDFACAB ADBDACAB AFDFADBD 证 明 ： BAC=90 AD BC ABC+ C= 90 ABC+ BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是 AC的 中 点 ， ED=EC EDC= C EDC = BDF AFDFADBD BDF= C= BAD又 F = F BDF DAF. BAC=90 ， AD BC ABC ABD ADBDACAB AFDFACAB 5.D为 ABC的 底 边 BC的 延 长 线 上 一 点 ， 直 线DF 交 AC于 E,且 FEA= AFE .求 证 ：BDCE=CDBF F E DCB A由 BDCE=CDBF， 得分 析 ：但 DBF与 DCE不 相 似因 此 ， 需 作 辅 助 线 构 造 相 似 三 角 形BD BFCECD= 5.D为 ABC的 底 边 BC的 延 长 线 上 一 点 ，直 线 DF 交 AC于 E,且 FEA= AFE .求证 :BDCE=CDBF F E DCB AG方 法 一 ： 过 点 C作 CG AB,交 DF于 G 则 DCG DBF 故再 证 CG=CE 即 可CD CGBFBD = F E DCB AG方 法 二 ： 过 点 C作 CG DF,交 AB于 G 故再 证 FG=CE 即 可5.D为 ABC的 底 边 BC的 延 长 线 上 一 点 ， 直 线DF 交 AC于 E,且 FEA= AFE .求 证BDCE=CDBFBD BFFGCD= F E DCB AG5.D为 ABC的 底 边 BC的 延 长 线 上 一 点 ， 直 线DF 交 AC于 E,且 FEA= AF.求 证 ：BDCE=CDBF方 法 三 ： 过 点 B作 BG DF,交 DF的 延 长 线 于 G 故再 证 BG=BF 即 可则 DCE DBG DC CEBGDB = 6.如 图 ： 已 知 ABC 中 ， AD平 分 BAC ，EF是 AD的 中 垂 线 ， EF 交 BC的 延 长 线 于 F .求证 ： FD2=FCFB FED CB A分 析 ： 由 FD2=FCFB， 得FD FBFDFC =但 FD、 FC、 FB都在 同 一 直 线 上 ， 无法 利 用 相 似 三 角 形 .由 于 FD=FA， 替 换 后可 形 成 相 似 三 角 形 .FD FBFDFC = FA FBFAFC =只 要 证 FAB FCA即 可 . 7.已 知 ,AB CD EF，（ 1） 图 中 有 几 对 相 似 的 三 角 形 ？（ 2） 线 段 AB、 CD与 EF有 怎 样 的 等 量 关 系 ？FAB CD E EDC EBA ADC AFE BDA EDF CDEFAB AEACAECEEFCDABCD AEACEFCD AECEABCD 111 1 证比例式（或乘积式）的常用方法证 明 乘 积 式 时 ， 可 先 将 乘 积 式 改 为 比 例 式(1)找 相 似 三 角 形 （ 或 平 行 线 ）(2)没 有 相 似 三 角 形 （ 或 平 行 线 ） ,利 用 等 比 例转 化 ,或 利 用 等 线 段 转 化 ,或 等 积 转 化 ,或 构 造 辅助 线 转 化 不 经 历 风 雨 ， 怎 么 见 彩 虹 没 有 人 能 随 随 便 便 成 功 !