2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.3习题课-函数的基本性质课后提升训练新人教A版.doc

2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.3习题课-函数的基本性质课后提升训练新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx吉林高一检测)f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)<f(6)B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3)D.f(2)<f(0)【解析】选C.因为函数为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(-1)=f(1)<f(3).2.(xx济南高一检测)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=x(1-x),当x<0时,f(x)=()A.-x(x-1)B.-x(x+1)C.x(x-1)D.x(x+1)【解析】选D.当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x(1+x),又f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).3.(xx北京高一检测)下列各函数为偶函数,且在0,+)上是减函数的是()A.f(x)=x+3B.f(x)=x2+xC.f(x)=x|x|D.f(x)=-|x|【解析】选D.A.f(x)=x+3的图象不关于y轴对称,不是偶函数,所以该选项不符合题意;B.x=-1时,f(x)=0,x=1时,f(x)=2,所以f(-1)f(1),该函数不是偶函数,所以该选项不符合题意;C.x=-1时,f(x)=-1,x=1时,f(x)=1,所以f(-1)f(1),该函数不是偶函数,所以该选项不符合题意;D.f(x)=-|x|的定义域为R,且f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),所以该函数为偶函数;x0时,f(x)=-|x|=-x为减函数,所以该选项符合题意.4.(xx大连高一检测)若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-,-1上是增函数,则()A.f<f(-1)<f(2)B.f(2)<f<f(-1)C.f(2)<f(-1)<fD.f(-1)<f<f(2)【解析】选B.因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2),又因为f(x)在区间(-,-1上是增函数,-2<-<-1,所以f(2)<f<f(-1).5.(xx天津高一检测)已知f(x)在a,b上是奇函数,且f(x)在a,b上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在a,b上的最大值与最小值之和为()A.2m+3B.2m+6C.6-2mD.6【解析】选D.因为奇函数f(x)在a,b上的最大值为m,所以它在a,b上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(x)+3在a,b上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法:f(0)=0;若f(x)在0,+)上有最小值-1,则f(x)在(-,0上有最大值1;若f(x)在1,+)上为增函数,则f(x)在(-,-1上为减函数;若x>0时,f(x)=2x2-x,则x<0时,f(x)=-2x2-x.其中正确的说法的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,最值相反,且互为相反数,所以正确,不正确;对于,x<0时,-x>0,f(-x)=2(-x)2-(-x),又因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x2-x,正确.7.(xx襄阳高一检测)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式是()A.f(x)=-x(x-2)B.f(x)=x(|x|-2)C.f(x)=|x|(x-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)【解析】选B.设x<0,则-x>0,因为当x0时,f(x)=x2-2x,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+2x,所以f(x)=-x2-2x,故在R上,f(x)的表达式是f(x)=x(|x|-2).8.(xx济宁高一检测)已知f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数,且它在定义域内单调递减,若a满足f(1-a)+f(2a-3)<0,则a的取值范围是()A.B.C.(2,+)D.【解析】选B.因为函数f(x)为奇函数,且f(1-a)+f(2a-3)<0,所以f(1-a)<-f(2a-3)=f(3-2a).又因为f(x)为(-4,4)上的减函数,所以解得2<a<.所以a的取值范围是.二、填空题(每小题5分,共10分)9.定义在(-,+)上的函数y=f(x)在(-,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f的大小关系是_.(用“<”连接)【解析】因为y=f(x+2)为偶函数,所以y=f(x)关于x=2对称.又因为y=f(x)在(-,2)上为增函数,所以y=f(x)在(2,+)上为减函数,而f(-1)=f(5),所以f<f(-1)<f(4).答案:f<f(-1)<f(4)10.(xx哈尔滨高一检测)已知函数f(x)是(-,0)(0,+)上的奇函数,且当x<0时,函数的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是_.【解析】因为f(x)是(-,0)(0,+)上的奇函数,且x<0的图象已知,根据对称性,x>0时的图象如图,结合图象可得不等式xf(x)<0的解集为(-,-2)(-1,0)(0,1)(2,+).答案:(-,-2)(-1,0)(0,1)(2,+)【延伸探究】若将本题中“奇函数”改为“偶函数”,则不等式xf(x)>0的解集是_.【解析】由f(x)是(-,0)(0,+)上的偶函数,且x<0的图象已知,根据对称性,可得x>0时的图象如图,结合图象可得不等式xf(x)>0的解集为(-2,-1)(0,1)(2,+).答案:(-2,-1)(0,1)(2,+)三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.(1)求f(f(-1)的值.(2)求函数f(x)的解析式.【解析】(1)因为f(-1)=-f(1)=0,所以f(f(-1)=f(0).因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(f(-1)=0.(2)当x=0时,由奇函数的性质知f(0)=0,当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-=-x2-4x-3,综上所述,f(x)=12.定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0.又f(1)=-.(1)求证:f(x)为奇函数.(2)求证:f(x)在R上是减函数.(3)求函数f(x)在-3,3上的值域.【解析】(1)令x=y=0,定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),则f(0)=0,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)令x+y=x1,y=x2且x1>x2,x=x1-x2>0,当x>0时,f(x)<0.f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数.(3)由f(1)=-.所以f(2)=-,f(3)=-2,f(-3)=2,所以函数f(x)在-3,3上的值域为-2,2.【能力挑战题】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x+x2.(1)求x<0时,f(x)的解析式.(2)问是否存在这样的非负数a,b,当xa,b时,f(x)的值域为4a-2,6b-6,若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x+x2,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以x<0时,f(x)=-f(-x)=x-x2,即x<0时,f(x)的解析式为f(x)=x-x2.(2)假设存在这样的数a,b,因为a0,且f(x)=x+x2在x0时为增函数,所以xa,b时,f(x)f(a),f(b)=4a-2,6b-6,所以即或或或考虑到0a<b,且4a-2<6b-6,可得符合条件的a,b值分别为或或