2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十三章 排列组合与概率.doc

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十三章 排列组合与概率一、基础知识1加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。3排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nN,mn,注：一般地=1，0！=1，=n!。4N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：6组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。7定理1：不定方程x1+x2+xn=r的正整数解的个数为。证明将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。故定理得证。推论1 不定方程x1+x2+xn=r的非负整数解的个数为推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为8二项式定理：若nN+,则(a+b)n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。9随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0p(A)1.10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)=11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么A1，A2，An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+An)= p(A1)+p(A2)+p(An).12对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。由定义知p(A)+p()=1.13相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。14相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A1，A2，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1A2 An)=p(A1)p(A2) p(An).15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=pk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数就是一个随机变量，可以取的值有0,1,2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi(i=1,2,)的概率p(=xi)=pi，则称表x1x2x3xipp1p2p3pi为随机变量的概率分布，简称的分布列，称E=x1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+为的均方差，简称方差。叫随机变量的标准差。18二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(=k)=, 的分布列为01xiNp此时称服从二项分布，记作B(n,p).若B(n,p)，则E=np,D=npq,以上q=1-p.19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(=k)=qk-1p(k=1,2,)，的分布服从几何分布，E=，D=(q=1-p).二、方法与例题1乘法原理。例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？解 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)(2n-3)31=2加法原理。例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？解 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，有-1=5种可能；3）3个电阻断路，有=4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。3插空法。例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？解 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。4映射法。例4 如果从1，2，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a13,a3-a23，那么所有符合要求的不同取法有多少种？解 设S=1,2,14，=1，2，10；T=(a1,a2,a3)| a1,a2,a3S,a2-a13,a3-a23,=(),若，令，则(a1,a2,a3)T,这样就建立了从到T的映射，它显然是单射，其次若(a1,a2,a3)T,令，则，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|=120，所以不同取法有120种。5贡献法。例5 已知集合A=1，2，3，10，求A的所有非空子集的元素个数之和。解 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有29个，所以a对x的贡献为29，又|A|=10。所以x=1029.另解 A的k元子集共有个，k=1,2,10，因此，A的子集的元素个数之和为1029。6容斥原理。例6 由数字1，2，3组成n位数(n3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？解 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3n，用A1，A2，A3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。所以由容斥原理|A1A2A3|=32n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|=3n-32n+3个。7递推方法。例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？解 设能构造an个符合要求的n位数，则a1=3，由乘法原理知a2=33-1=8.当n3时：1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n3).这里数列an的特征方程为x2=2x+2，它的两根为x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+ c2(1+)n,由a1=3,a2=8得，所以8算两次。例8 m,n,rN+，证明： 证明 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种；另一方面，从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有种，k=0,1,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有种。综合两个方面，即得式。9母函数。例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为xx，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。解 对于n1,2,xx,用an表示分值之和为n的牌组的数目，则an等于函数f(x)=(1+)2(1+)3(1+)3的展开式中xn的系数（约定|x|<1），由于f(x)= (1+)(1+)(1+)3=3 =3。而0xx<211，所以an等于的展开式中xn的系数，又由于=(1+x2+x3+x2k+)1+2x+3x2+(2k+1)x2k+,所以x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5+(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,从而，所求的“好牌”组的个数为axx=10032=1006009.10组合数的性质。例10 证明：是奇数(k1).证明 =令i=pi(1ik)，pi为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。例11 对n2,证明：证明 1）当n=2时，22<=6<42；2）假设n=k时，有2k<<4k,当n=k+1时，因为又<4，所以2k+1<.所以结论对一切n2成立。11二项式定理的应用。例12 若nN, n2，求证：证明 首先其次因为，所以 2+得证。例13 证明：证明 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。是(1+y)k的展开式中yk的系数。从而就是(1+x)n-k(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。于是，就是展开式中xm-hyh的系数。另一方面，= =(xk-1+xk-2y+yk-1)，上式中，xm-hyh项的系数恰为。所以12概率问题的解法。例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：恰好有k件是次品的概率是多少？解 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n（即所有的可能结果）。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为akbn-k，故所求的概率为p(A)=例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为(1-p)5-k(k=0,1,2,5)，由题设，且0<p<1，化简得，所以恰好有3次正面朝上的概率为例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？解 （1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A12：0（甲净胜二局），A22：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）. p(A1)=0.60.6=0.36,p(A2)=0.60.40.6=0.288.因为A1与A2互斥，所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B13：0（甲净胜3局），B23：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），B33：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。因为B1，B2，B2互斥，所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+0.620.40.6+0.620.420.6=0.68256.由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。解（1）；（2）；（3）记为取出的3张卡片的数字之积，则的分布为0248p所以三、基础训练题1三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_个。2在正xx边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_。3用1，2，3，9这九个数字可组成_个数字不重复且8和9不相邻的七位数。410个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_种分组方法。5以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_。6今天是星期二，再过101000天是星期_。7由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_项。8如果凸n边形(n4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_个交点。9袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1ka+b)次取到黑球的概率为_。10一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_。11某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_。12马路上有编号为1，2，3，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_。13a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_种安排方式。14已知i,m,n是正整数，且1<imn。证明：（1）；（2）(1+m)n>(1+n)m.15.一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）四、高考水平训练题1若n1,2,100且n是其各位数字和的倍数，则这种n有_个。2从-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有_条。3四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_种取法。4三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_种。5一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_个。6将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_个。7从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_种不同的对数值。8二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_项，系数最小的项为第_项。9有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）10在1，2，xx中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_。11投掷一次骰子，出现点数1，2，3，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_。12某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(mn)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_。13某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=）五、联赛一试水平训练题1若0<a<b<c<d<500，有_个有序的四元数组（a,b,c,d）满足a+d=b+c且bc-ad=93.2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_。3已知A=0，1，2，3，4，5，6，7，映射f:AA满足：（1）若ij，则f(i)f(j)；（2）若i+j=7，则f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_。41，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质：对于1i4,a1,a2,ai不构成1，2，i的某个排列，这种排列的个数是_。5骰子的六个面标有1，2，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_，最小值为_。6某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_。7如果a,b,c,d都属于1,2,3,4且ab,bc,cd, da；且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_。8如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,若an=xx，则an=_。9求值：=_。10投掷一次骰子，出现点数1，2，6的概率均为，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_。11将编号为1，2，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。12甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0<p<1)，乙每次击中的概率为q(0<q<1)，求甲、乙首先击中的概率各是多少？13设m,nN,0<mn，求证：+六、联赛二试水平训练题1100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）2设S=1,2,10，A1，A2，Ak是S的k个子集合，满足：（1）|Ai|=5,i=1,2,k;（2）|AiAj|2,1i<jk，求k的最大值。3求从集合1,2,n中任取满足下列条件的k个数j1,j2,jk的组合数；（1）1j1<j2<<jkn；（2）jh+1-jhm,h=1,2,k-1,其中m>1为固定的正整数；（3）存在h0,1h0k-1，使得m+1.4.设,其中S1，S2，Sm都是正整数且S1<S2<<Sm，求证组合数中奇数的个数等于2m。5个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设Mk是从上往下第k行中的最大数，求M1<M2<<Mn的概率。6证明：