2019-2020年高中数学教案精选数学归纳法2.doc

2019-2020年高中数学教案精选数学归纳法2教学目标：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。 初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。培养学生对于数学内在美的感悟能力。教学重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)。教学难点：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。教学过程：一、 引入：问题1：这个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？二、 归纳法：教师引导学生明了以上两个问题的异同点。 由此，得出归纳法的概念：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。 投影通过数学家费马运用不完全归纳得出错误结论的事例来说明不完全归纳法的缺憾之处 仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。 提问如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 引导学生得出：只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。三、 数学归纳法：提问若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是橙色球呢？在学生讨论未果的基础上，教师给出方法供学生参考：证明第一次拿出的乒乓球是橙色的；构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的球也是橙色的”。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是橙色的。（该命题并不是孤立地研究“某一次”、“下一次”取的是橙球，而且由“某次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球”的逻辑必然性，即一种递推关系）教师引导学生讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明全部的乒乓球都是橙色的？由此，得出数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一种证明方法。提问在现实生活中有没有相似的“递推”思想的实例呢？ 提问这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？投影给出问题2的数学归纳法的证明，将每一步骤标号，引导学生对比上一问题与此问题类似之处，进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。教师再通过投影明确数学归纳法的“奠基步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。四、 例题讲解：例1、数列an，其通项公式为an=2n-1，请猜测该数列的前n项和公式Sn，并用数学归纳法证明该结论。 教师板演学生的解题步骤。师生共同归结：1、 数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。 2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。第3点可结合学生完成情况来阐明。五、 反馈练习：用数学归纳法证明：A组：1、1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)； 2、首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 (nN)B组：1、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN)； 2、S=1/(13)+1/(35)+1/(57)+1/(2n-1)(2n+1) (nN)六、 知识小结：投影：不完全归纳法完全归纳法递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉数学归纳法穷举法七、 作业：P121 1、预习课本P115-117教学章节：数学归纳法应用教学目标：使学生能掌握用“归纳法”去猜想有关命题的条件、结论。教学重点：如何用“归纳法”去推导、猜想。教学难点：。教学过程： (一)创设问题情境问题：“管中窥豹，略见一斑”的含义是什么？（比喻可以从观察到事物的一部分情况推测到事物的全体情况）例：看一下广交会上的出口商品，就可以了解到我国目前的经济发展情况。问题：用了解同学们的作业情况，可以用什么方法？（二） 师生共同探索上述推理所采用的方法实际上就是归纳法，它是由一系列有限的特殊事例去推导出一般的结论。归纳法可以帮助我们从特殊事例中去发现一般规律。例、 已知数列： 计算得：S1=,，由此可猜测n=_例：观察下列式子：<, +<, +,则可归纳出_教师引导学生观察上述两例的变化规律，可得：例的n=，例的+ (三)学生讨论归纳下列各题由学生进行分组讨论，然后教师进行提问、 对一切自然数n，猜出使成立的最小自然数t。、 平面上有几条直线，其中无两条平行，无三条共点，问： 这n条直线共有几个交点f(n)？（ 这n条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(条) 平面被这n条直线分割成多少块区域？（）、 已知数列an中，a1=, an+1=。求a2, a3, a4，猜测通项公式an 、 设数列an的各项均为正整数，a1=1，设Sn=a1+a2+an，若对自然数n总有Sn+1+Sn=( Sn+1Sn) ，试推测用n表示n的关系式（S 小结：上述各题均属结论探索法，即由条件去归纳探索、满足条件的结论。下面题目，则属条件探索法，即由成立的结论去探索命题的条件。、（年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式1对一切自然数n都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10）（四）归纳小结归纳法是一种常用的推理方法，它是由一系列有限的事例去推理一般的结论。虽然它得到的结论不一定正确，但却是我们解决问题和发现规律的桥梁。用归纳法得出的结论是否正确，还须用数学归纳法加以证明。（五）作业布置、 已知数列an满足Sn=2nan (nN)，求出此数列的前四项，作出猜想求出an，再证明之。、 是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立。并证明你的结论。教学章节：充要条件教学目标：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、论证中正确运用.2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解3个概念，并在分析中正确判断。教学难点：教学过程：师：上堂课后留了一道题：给出原命题“若A，则B”(板书)，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.请同学们回答.生：(口答，师板书)原命题：若A，则B.逆命题：若B，则A.否命题：若非A，则非B.逆否命题：若非B，则非A.师：请同学们构造4个原命题，写在投影片上.要求是：(1)原命题成立，逆命题不成立；(2)原命题不成立，逆命题成立；(3)原命题成立，逆命题成立；(4)原命题不成立，逆命题也不成立.(师巡视后，选4位同学的投影片待用.以下讨论将随机应变，下面写的只是一种设想.)师：(取第一位同学的投影片定格，并板书.)原命题：如果xy，那么x2=y2.师：这个原命题成立吗?生：(口答)成立.师：这个原命题的逆命题是什么?是否成立?生：(口答)这个原命题的逆命题是：如果x2=y2，那么x=y.不成立.师：请举一个逆命题不成立的例子.生：(口答)例：取x=1，y=-1.满足x2=y2，但xy.师：如果我们把原命题的条件“x=y”记作A，把原命题的结论“x2=y2”记作B.本例说明：“若A，则B.”成立，记作AB.则称A是B的充分条件，B是A的必要条件.由于逆命题不成立，即AB，则称A是B的充分但不必要条件.这个例子的原命题成立，但它的逆命题不成立.即“x=y”是“x2=y2”的充分但不必要条件.师：(取第二位同学的投影片定格，并板书.)原命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等.师：这个原命题成立吗?生：(口答)不成立.师：请举一个例子.生：(板书)因为AABC，所以SABC=SABC.但这两个三角形不全等.师：请叙述这个原命题的逆命题，并说明是否成立.生：(口答)如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等.这个逆命题成立.师：如果原命题不成立，而逆命题成立.我们说原命题的条件对结论的成立是必要但不充分的.也就是说：“两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要但不充分条件.把本例原命题的条件记作A，结论记作B.由于原命题不成立，而逆命题成立.即：AB，则称A是B的必要但不充分条件.师：(取第三位同学投影片定格，板书.)原命题：x2+y2=0，则x=0且y=0.这个命题成立吗?生：(口答)成立.师：这个原命题的逆命题怎样叙述?是否成立?生：(口答)“如果x=0且y=0，则x2+y2=0”.这个逆命题是成立的.师：如果原命题成立，逆命题也成立.我们说原命题的条件是其结论的既充分又必要的.本例中，把“x2+y2=0”记作A，把“x=0且y=0”记作B.由于AB，且BA.记作AB.则称A是B成立的充分且必要条件，简称A是B的充要条件.师：(取第四位同学的投影片定格，并板书.)原命题：如ab，则ab.这个原命题成立吗?并说明理由.生：(口答)不成立.例：a=-1,b=-2.满足ab，但不满足ab.师：请说出这个原命题的逆命题，并说明是否成立.生：(口答)“如果ab，则ab”.不成立.例：a=-3,b=1.满足ab，但不满足ab.师：如果把原命题的条件记作A，原命题的结论记作B，本例是AB，则称A是B成立的既不充分又不必要条件.现在我们总结一下，本节所讲叙的概念(板书.)1.“若A，则B”是真命题，记“AB”.称A是B的充分条件，B是A的必要条件.2.如果AB，且BA，记AB.3.AB，称A是B的充要条件；AB，称A是B的充分但不必要条件；AB，称A是B的必要但不充分条件；AB，称A是B的既不充分又不必要条件.以上前两条给出了充分条件、必要条件、充要条件这3个概念；第3条给出了判断A是B的什么条件的依据.现在请同学们回答：A B，B是A的什么条件?生：(讨论后回答)B是A的必要但不充分条件.师：请同学们阅读课本第50页，有关“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义.(投影或计算机操作显示)在直线坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形).师：我们把“曲线的方程”和“方程的曲线”看成条件A，把关系1、2看成B.它们都是A的必要条件.两者都满足了，A才具备充分性，即A是B的充要条件.如果两者缺一，譬如仅把关系1看成B，那么A是B的充分但不必要条件.为此，在定义“曲线的方程”和“方程的曲线”时，关系1、2缺一不可.实际上这也是一个充要条件问题，是我们数学中常见的等价转换问题.现在请看以下例题：例1 两条不重合的直线l1、l2(共同前提).l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1l2的什么条件?(学生讨论回答)生甲：两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1l2的充要条件.师：这个结论对吗?生乙：不对.因为l1l2，有可能l1和l2的斜率不存在.故两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1l2的充分但不必要条件.师：生乙的回答很好.如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢?生丙：把命题的结论改为“l1l2，且l1、l2都有斜率”即可.例2 “0.1lgx21”是“x1”成立的( ).(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件(学生讨论后回答) 生：选A.理由是(0.1)lgx11(10lgx2)-11x21x21x0x1.由x1推不出x0.例3 “三棱锥(底面是非正三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”是“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”的什么条件?生：(口答)是充要条件.师：同学们再想一想.生：是充分但不必要条件.师：为什么?生：因为顶点在底面的射影有可能是非等边三角形的旁心.师：大家再讨论一下，这位同学的结论是否正确?生：(讨论后回答)不正确.应该是必要但不充分条件.其理由是：把条件“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面有均相等”看成A，“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”看成B.那么A B.理由是有可能三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的旁心.所以，A是B的必要但不充分条件.师：这位同学回答得很好.如何改变命题的条件，使其成为充要条件呢?生：条件A是“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等，且顶点在底面的射影落在底面三角形内”即可.例4 a、bR，则1a1b成立的一个充分而不必要的条件是( ).(A)ba0 (B)ab(C)ab(a-b)0 (D)ab(同学们讨论回答)生：选(A).其理由是ba01a1b.例子是a0，b0满足1a1b，但ba0不成立.例5 已知a是的充要条件，S是的必要条件同时又是的充分条件，试求与的关系.师：请同学们把解答写在投影片上.(师巡视后，选错误及正确解答展示，最后把正确解答定格.)解：由已知得S，所以是的充分条件，或是的必要条件.例6 (投影展示)(学生兴趣盎然，数学交流达到了高潮，在争论中得到正确答案.)师：今天我们学习了充分条件、必要条件、充要条件3个概念，并学会了判断条件A是B的什么条件.也为今后我们解决数学问题打下了等价转化的基础.今天的作业：1.第58页练习1，2，3，4.2.第61页习题四，9.3.构造16个小题，代数、三角、立体几何、解析几何各4个.分别为A是B的充分但不必要条件、A是B的必要但不充分条件、A是B的充要条件、A是B的既不充分又不必要条件.设计说明1.“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念，也是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础.在实际教学，这一节一般有两种处理方法：第一种是，在高一讲授或高二解析几何起始课时讲授，俗称“前充要”；第二种是按教材编排，放到解析几何第二章讲授，俗称“后充要”.本节教案为“后弃要”设计.2.由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关.而学生在初中都了解到原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的.为此，本教案着重从“原命题、逆命题”与“充要条件”的联系进行分析，从而没有提及否命题和逆否命题.在实际教学中，可将否命题与逆否命题容纳进去.3.本教案有悖于教材，仅从A是B的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述，便于学生进行正确的判断.4.由于这节课概念性、理论性较强.一般的教学使学生感到枯燥无味.为此，激发学生的学习兴趣是关键.把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学题，自我感到数字美.从而培养学生的数学能力，为强化等价转换这一数学思想打下良好的逻辑基础.5.充要条件这节课是个难点，也是高中数学的基础.如有可能，不妨先给学生介绍点简易逻辑知识.譬如，什么叫命题?用语言、符号或式子表达的，而且能判断真假的语名叫做命题.两个命题p、q用逻辑联词“且”联结起来构成一个新命题，称为联言命题.联言命题的真假，只有当p、q同真时，才是真命题.两个命题p、q用逻辑联词“或”联结起来构成一个新命题，称为选言命题.选言命题的真假，如p、q中至少有一个是真命题，则这个选言命题是真命题.只有当p、q同时是假命题，这个选言命题才是假命题.这种逻辑知识对学生判断是十分有用的.教学章节：椭圆的定义教学目标：1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。教学重点：。教学难点：。教学过程：（1） 复习 提问：动点轨迹的一般求法？ （通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内 容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。）（2） 引入 举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等； 计算机：动态演示行星运行的轨道。 （进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）（3） 教学实施 投影：椭圆的定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示） 常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：） 计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。 提问：如何求轨迹的方程？ （引导学生推导椭圆的标准方程） 板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略） （推导中注意：1）结合已画出的图形建立坐标系，容易为学生所接受；2）在推导过程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解；3）其中焦点为F1（，0）、F2（c,0）,；4）如果焦点在轴上，焦点为F1（0，）、F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程） 投影：椭圆的标准方程： （） （） 投影：例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 （由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、即可） 形成性练习：课本P74：2，3（4） 小结 本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: 椭圆的定义中, 椭圆的标准方程中,焦点的位置看,的分母大小来确定 、的几何意义（5） 作业 P80：2，4（1）（3）课堂设计流程图开始复习：轨迹方程的求法投影 求轨迹方程的步骤电脑 引入椭圆的定义投影 定义的文字表述 电脑 动态模拟轨迹的形成标准方程的推导分析、辨别坐标系的建立 方程的化简电脑 动态演示两种形式的区别投影 例1板书解答过程小结形成性练习讲评结束教学章节：椭圆及其标准方程教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的定义。2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。 能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； （2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：椭圆的定义及标准方程。教学难点：椭圆的定义及标准方程的推导。教学过程：一：椭圆概念的引入：1：举例：（1）汽车油罐横界面的轮廓，沙丁鱼罐头（由学生自己举例） （2）天体行星和卫星运行的轨道。（3）立体几何中作园的一种直观图。2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）3：由此总结椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。4：说明 （1）注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（2）两个定点-两点间距离确定。 绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定。（3）思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（极限：线段）。在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（极限：圆）。注意到条件：由此，椭圆的形状与两定点间距离，绳长有关。（为下面离心率概念作铺垫）二：根据定义推导椭圆标准方程：1：复习求轨迹方程的基本步骤：2：推导：取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴。设P（x,y）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c>0）.则：，又设M与F1,F2距离之和等于2a（常数），化简，得：，由定义令代入，得：，两边同除得：，此即为椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程。其中注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程，说明：（1） 其中：2a为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。焦距2c，而由 （2） 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成：只要将此方程中的x,y调换，即可得：，此也是椭圆的标准方程。三：巩固练习：1：判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值。变形为： 总结：注意到a2>b2，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上。2：求三量：四：例题讲解：1：平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离之和是10的点的轨迹方程。问：这个轨迹是什么？-椭圆如何确定？-定式定量。2：已知B,C两定点，三角形ABC的周长为16，求A的轨迹方程。4：若表示椭圆，则k的取值范围是？五：总结六：作业七：课后分析教学章节：椭圆及其标准方程教学目标：1 使学生掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；2 能根据定义推导出椭圆的标准方程；3 能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题；4 培养学生形数结合的重要数学思想方法。教学重点：。教学难点：。教学过程：（一）、复习提问：1、 求曲线方程的步骤有哪些？2、 圆的一般方程是什么？主要特点是什么？（二）、引言：我们已经学习过两种曲线，这节课我们再学习一种常见的曲线椭圆。（动画展示太阳系行星运动轨迹）通过播放动画提出如下问题：太阳系行星运动轨道是什么曲线？使椭圆的形象更加鲜明。（三）、新课：1、 椭圆的定义：（动画展示） 投影：（课件演示椭圆生成过程）通过动点轨迹的形成过程，给出轨迹的直观形象，以便于抽象概括。 小黑板：（实物演示椭圆生成过程） 让学生观察分析，同时回答下列问题：所作的轨迹上的动点，满足什么条件？试用语言概括。并且讨论为什么要规定“常数大于|F1F2|”，分析常数等于|F1F2|和常数小于|F1F2|时的点的轨迹是什么？（字幕展示椭圆的定义以及焦点、焦距的概念。）2、 根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出椭圆的标准方程。过程如下： 建系设点；列式；变换；化简；证明。（板书过程）3、 椭圆的标准方程的特点：（字幕投影） 椭圆标准方程中总有ab0， 椭圆焦点总在长轴上， 对于a、b、c有关系式c2a2b2成立。、剖析例题：在掌握了椭圆的定义及其标准方程基础上，字幕展示例题。例：平面内两个定点距离是，写出到这两个定点的距离的和是的点的轨迹的方程。此题中距离和的值可以改动，当其等于8或小于8时其点的轨迹分别是线段和无轨迹，可进一步加深学生对椭圆定义的理解。例：三角形ABC中，AB固定，|AB|=10，且sinA+sinB=2sinC，求点C的轨迹方程。在屏幕上用动画显示解题过程，板书解题步骤。通过例1与例2，巩固对“椭圆的定义和椭圆的标准方程”的掌握，会应用椭圆的定义求椭圆的标准方程。（四）、课堂练习：为了更好地完成教学目的，巩固本节的重点，掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程，通过投影仪展示出精选的练习题。1、 写出满足两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0），并且经过点P（5/2，3/2）的椭圆标准方程。2、已知ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。让学生板演，然后在屏幕上显示解题过程，对学生进行规范解题训练。（五）、课堂小结：（字幕显示）总结本节课学习的主要内容，使学生明确学习目的。y四、主帧设计：MxF2OF1 五、流程图：开 始教 师 引 课椭 圆 标 准 方 程 推 导椭 圆 定 义投影实物图形投影椭圆形成过程教师总结例题2投影例题1投影结 束小 节学生练习教师总结教学章节：椭圆的简单几何性质教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。2：掌握标准方程中a,b,c的几何意义3：椭圆的第二定义。 能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； （2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：椭圆的简单几何性质与第二定义。教学难点：椭圆的第二定义。教学过程：一：复习引入1：概念：椭圆，焦点，焦距。2：标准方程：3：请学生在黑板上作出椭圆的草图，注意标出所有可以确定的量值及点的坐标。教师同在黑板作出椭圆的草图，注意作出矩形框以界定椭圆的范围。评议学生的作业。根据草图说明，注意标准方程中a,b是如何定义的。二：新课讲授：以椭圆标准方程为例进行说明。1：范围：观察椭圆的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：椭圆在四条直线围成的矩形内侧。注意：从椭圆的方程如何验证？从标准方程可知，由此椭圆上点的坐标都适合不等式即，即椭圆在四条直线围成的矩形内侧。2：对称性：椭圆关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3：顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。在椭圆的方程里，对称轴是x,y轴，所以令得，因此椭圆和x轴有两个交点，他们是椭圆的顶点。令，得，因此椭圆和y轴有两个交点，他们是椭圆的四个顶点。注意：椭圆的顶点有四个顶点，它们分别是长轴和短轴的四个端点。长轴：线段叫做椭圆的长轴，它的长等于2a，a叫做椭圆的长半轴长。短轴：线段叫做椭圆的短轴，它的长等于2b，b叫做椭圆的短半轴长。4：离心率：1） 概念：椭圆焦距与长轴长之比。2） 定义式：3） 范围：4） 考察椭圆形状与e的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。 说明：1） 其中定点-焦点，定直线-准线。对于来说，相对于左焦点对应着左准线相对于右焦点对应着右准线对于来说，相对于上焦点对应着上准线 相对于下焦点对应着下准线2） 位置关系：3） 焦点到准线的距离其上任意点到准线的距离：（分情况讨论）四：练习：已知椭圆上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。五：总结六：作业七：课后分析教学章节：椭圆的几何性质教学目标：掌握椭圆的焦半径公式，焦点弦公式，通径，直线和椭圆的位置关系等椭圆的相关内容。教学重点：习题课。教学难点：习题课。教学过程：一：椭圆的第二定义：应用：1：椭圆，其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。2：椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，求P点到椭圆右焦点的距离。3：椭圆上一点P到两焦点的距离之比为1：3，求此点到左右准线的距离。（若求此点的坐标又如何求解？）4：求经过M(1，2)以y轴为准线，离心率为0.5的椭圆的坐定点的轨迹方程。设椭圆左顶点P(x,y)，由P到左焦点距离于P到y轴距离之比为0.5，则有二：椭圆的焦半径及其应用：1：定义：椭圆上任意一点M与椭圆焦点的连线段，叫做椭圆的焦半径。2：焦半径公式的推导： 设椭圆及椭圆上任意一点M（注意和其在椭圆的左半个还是右半个无关），则，即有焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式：同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关。可以记为：左加右减，上减下加焦半径公式的推导还有其他方法，其中最为简单的就是利用椭圆的第二定义：由第二定义：， 又同理：3：焦半径公式的应用：1）：椭圆，其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。2）P为椭圆上的点，且P与的连线互相垂直，求P.3）椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证4）设P是以0为中心的椭圆上任意一点，为右焦点，求证：一线段位直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切。三：直线与椭圆：1：位置关系：相交（两个公共点）相离（无公共点）相切（一个公共点）若直线，二次曲线将代入，消去y，得到关于x的二次方程（*）若，相交，相切，相离在圆的几何性质的学习中，判断直线和圆的位置关系可以除了上述的代数法，还可以直接通过圆的几何性质也既是几何法进行判断，但在椭圆中，由于对椭圆的纯几何性质没有进行过细致的学习，则一般情况下，无法直接使用几何方法，而判断直线和椭圆的位置关系常常只能用代数法进行。当然，具体问题具体分析。如下面这个例子：直线与焦点在x轴的椭圆总有公共点，则a的取值范围？2：相交弦长：弦长公式：，其中a和分别是（*）中二次项系数和判别式，k为直线的斜率。当代入消元消掉的是y时，得到，此时弦长公式相应的变为：3：焦点弦：定义：过焦点的直线割椭圆所成的相交弦。焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点当椭圆焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点：过右焦点：当椭圆焦点在y轴上时，过左焦点：过右焦点：4：通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。直接应用焦点弦公式，得到：教学章节：定义法求轨迹方程教学目标：知识目标 通过本课的学习，增强运用圆锥曲线的定义解决问题的意识，综合运用平面几何的知识，进行几何等量关系的转换，理解“定义法”求轨迹方程的意义及解决问题的基本思路。能力目标 用运动的观点理解曲线。培养学生观察、类比、推理的分析能力和抽象、概括的思维能力；培养学生数学的转化思想、数形结合思想，使学生养成仔细审视、全方位考虑问题的良好习惯。掌握从特殊一般特殊的认知规律。情感目标 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习热情，强化学生的参与意识。教学重点：“定义法”求曲线轨迹方程。灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型。教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。（完备性是指符合条件的点都要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。）教学过程：问题：1、请你分别说出四种圆锥曲线的定义 圆的定义 椭圆的第一定义双曲线的第一定义圆锥曲线的统一定义2、思考并回答：（1）已知且，则点P的轨迹是 圆 （2）已知ABC的一边BC的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？（椭圆，除去与BC边共线的两个顶点。）（3）若则点M的轨迹是 双曲线右支 （4）过点（2，3）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？（抛物线）小结引出课题：灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便。本课，我们重点讨论利用定义法求曲线的轨迹方程的问题。定义法求轨迹方程的含义：先由题设条件，根据圆锥曲线的定义能确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程。例1：已知圆C：及圆内一点P（3，0），求过点P且与已知圆内切的圆的圆心M的轨迹方程。1、分析：（1）圆C的半径与圆心坐标可定。 （2）两圆内切可得：外圆半径内圆半径连心距。 （3）动点M满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10| PC | （4）由定义可确定动点M的轨迹为以P、C为焦点的椭圆。2、演示动画，使抽象问题具体化。3、学生口述解题过程。4、板演解题过程。例2：已知动圆与圆和圆C2：都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。1、分析：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。 （2）两圆外切可得：两圆半径和圆心距（3）动圆半径r,依题意有 r1 + r = | P C1 | , r2 + r = | P C2 |两式相减得：| PC1 | - | PC2 | = r1 r2 < | C1 C2| （4）由双曲线定义得：点P的轨迹是C1 、C2以为焦点的双曲线的右支。 （5）再根据题设条件求出参数a、b即可。2、动画验证，并观察动点的运动。3、学生完成解题过程的书写表达。并巡视，纠正。4、板演规范的书写表达。引伸：1、若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？（双曲线右支） 2、若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？（双曲线左支） 3、若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹又是什么？（两定圆连心线的垂直平分线）4、 上述的结论是否具有一般性？也就是：与两个外离的定圆都外切或与其中一个内切，另一个外切的圆的圆心的轨迹都是双曲线的一支？（当两个定圆不相等时，结论是肯定的，当两定圆相等时，轨迹为两定圆连心线的中垂线。）利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。步骤：（1）依条件列出等量关系式；（2）由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；（3）写出方程。A组题1、动点P到直线的距离与它到点（2，1）的距离之比为，则点P的轨迹是什么？（椭圆）2、若动圆与圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心轨迹方程是 （ ）3、ABC中，已知、|AB|、| BC |成等差数列，求点C的轨迹方程。B组题1、请你编写12道用“定义法”求轨迹方程问题的题目。2、ABC中，A为动点，B、C为定点，且满足条件，求动点A的轨迹方程。3、动圆与内切，且与圆C2： 外切，求动圆圆心的轨迹方程。（ ）4、一动圆过点F（3，0）且与已知圆 相切，求动圆圆心P的轨迹方程。教学章节：椭圆及其标准方程教学目标：理。教学重点：。教学难点：。教学过程： 二 椭圆 32 椭圆及其标准方程教学目的：使学生牢固掌握椭圆的有关概念及其运用教学重点和难点：使学生牢固掌握椭圆的有关概念及其运用教学过程：一引入新课：椭圆是一种常见的曲线，如天体中一些行星和卫星的运行轨道。取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2F1 F2 M两点，当绳长大于F和F的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图版上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 1 椭圆的定义1：平面内与两个定点的距离和等于定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。2 椭圆的标准方程：P=MMF1+MF2=2a MF= MF=，利用椭圆的定义，得+=2a将这个方程移项，两边平方，得（x+c）2+y2=4a24a+（xc）2+y2 a2cx=a两边再平方，得 a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c+a2y2，整理得（a2c2）x2+a2y2=a2（a2c2）由椭圆定义可知，2a2c，即ac，所以a2c20设a2c2=b2（b0），得b2 x2+ a2 y2= a2 b2，两边除以a2 b2，得-叫做椭圆的标准方程（X型）焦点是F1（c，0）、F2（c，0） 这里a2c2=b2-叫做椭圆的标准方程（Y型）焦点是F1（0，c）、F2（0，c）二、例题讲解：例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这个定点的距离的和是10的点的方程。解 ：这个轨迹是一个椭圆两个定点是焦点，用F1、F2表示。取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。 2a=10， 2c=8， a=5， c=4b2=a2c2=5242=9，b=3因此，这个椭圆的标准方程是 即 就是所求的椭圆的标准方程三、课堂练习：已值椭圆的焦距为2，且过点P（3，2），求它的标准方程。解：对于标准位置上的椭圆来说，若焦距为2，则c=，可得到两个标准方程： 和再利用它们都过点（3，2），可以定出相应的a和b的值：所以所求标准方程为 和四、课堂小结：这节课讲了椭圆的有关概念及其运用请同学们牢固掌握。五、家庭作业：P135 1，2，4，5，633双曲线教学目的：使学生牢固掌握双曲线的基本概念，并能灵活运用教学重点和难点：双曲线的基本概念和运用。教学过程：一引入新课：1、 双曲线的定义1：把平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数2a（小于焦距）的点的轨迹，叫双曲线。其中两个定点叫焦点，两个定点之间的距离叫焦距。2、 双曲线标准方程的推导：令F1（-c，0），F2（c，0），M（x，y） 化简得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2） 令c2-a2=b2 X型双曲线同理可得，焦点Y轴上的双曲线方程 Y型双曲线3、 X型双曲线 Y型双曲线（M在左右支） （M在上下支）焦点：F1（-c，0）， F2（c，0） F1（0，-c）， F2（0，c）顶点：（-a，0）， （a，0） （0，-a）， （0，a）准线：x= y=离心率：e=1(e越大，双曲线的开口越大)通径：过焦点且垂直于轴的弦（或过焦点的最短弦） L= 焦半径：动点在左支： 动点在下支： 左焦半径-（ex0+a） 上焦半径-（ey0-a） 右焦半径-（ex0-a） 右焦半径-（ey0+a） 动点在右支： 动点在上支：左焦半径ex0+a 上焦半径ey0-a 右焦半径ex0-a 下焦半径ey0+a 渐近线：由得 由得 y= 注意：由双曲线方程可得唯一的渐近线方程；由渐近线方程可得双曲线系，只有再给一附加条件时才可得唯一双曲线。 等轴双曲线：当a=b时的双曲线叫等轴双曲线。，共轭双曲线：它们有共同的渐近线；并且四个焦点在同一个圆上；一个的实轴是另一个的虚轴；共轭双曲线方程的区别：与3 双曲线的第二个定义：双曲线上的一点到左（右）焦点的距离与它到左（右）定直线的距离的比为定值e的点的轨迹。二、例题选讲：例1圆锥曲线小测（一）姓名 座号 成绩 xx、3、22填空：（每题10分）1、以为渐近线，一个焦点为F（0，2）的双曲线方程是 ；2、若椭圆两焦点为F1（0，-2），F2（0，2）过F1的弦为AB，且ABF2的周长为20，则此椭圆方程是 ；3、过抛物线Y=ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于M、Q两点，若线段MF，FQ的长分别为p，q，则 ；4、设双曲线（a0，b0）的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过F点，则双曲线的离心率为 ；5、以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程是 ；6、设连接双曲线与的四个顶点所成的四边形面积为S1，连接四个焦点所成的四边形面积为S2，则的最大值是 ；7、设双曲线C的一个焦点为F，过F作虚轴的平行线与双曲线的一个交点为P，过F作一渐近线的平行线与双曲线交于Q，则= ；8、设椭圆上的任意一点P，左焦点为F1，A（2，3），则的最大值是 ；9、椭圆上不同的三点，A（与焦点F（4，0）的距离成等差数列，则 ；若线段AC的垂直平分线交x轴与点M，则直线BM的斜率是 。10、已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，求双曲线的离心率。 圆锥曲线小测（二）姓名 座号 成绩 xx、3填空：（每题10分）1、设双曲线（0ab的半焦距为c，直线过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到的距离为，则双曲线的离心率为 ；2、已知P（为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，点Q在F1P上，且，那点Q分有向线段F1P的比是 ；3、设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2=90，则F1PF2的面积是 ；4、过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若，则椭圆的离心率是 ；5、若抛物线与有共同焦点，则p，q，h的关系是 ；6、设椭圆的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是 ；7、抛物线的顶点在椭圆上，这样的抛物线共有 条；8、若椭圆两焦点为F1（-2，1），F2（6，1）；过F1的弦为AB，且ABF2的周长为20，则此椭圆方程是 ；9、椭圆上的点M与椭圆右焦点F2的连线MF2与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点连线AB平行。求椭圆离心率e= ；过F1与AB垂直的直线与椭圆交于P、Q，PF1Q的面积为20,求椭圆方程 . 圆锥与圆锥曲线的位置关系（三） xx、3、28 姓名 座号 成绩 填空（每题10分）1、已知双曲线与直线 只有一个公共点，则a值为 ；2、已知圆的弦AB中点为P（3，1），则弦AB所在直线的方程是 ；3、若抛物线的准线与双曲线的右准线重合，则m的值是 ；4、若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是 ；5、过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若=4，则这样的直线存在 条；6、过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=3，则= ；7、直线y=kx+1（kR）与椭圆恒有公共点，则实数m的范围是 ；8、直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M，N两点，弦MN的中点为P，若，O为坐标原点，则 ；9、设过原点的直线与抛物线交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过抛物线的焦点F