质点动力学的基本方程

理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 动力学介绍 动 力 学 研 究 物 体 的 机 械 运 动 与 作 用 在 该物 体 上 的 力 之 间 的 关 系 。 在 研 究 动 力 学 问 题 中 一 般 选 取 牛 顿 的 运动 三 定 律 作 为 动 力 学 的 基 础 ， 并 称 之 为 牛 顿定 律 或 动 力 学 基 本 定 律 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 动力学介绍力 学 模 型 质 点 、 刚 体 和 质 点 系在 下 面 两 种 情 况 下 ， 可 以 把 物 体 视 为 质 点 ：物 体 作 平 移 的 时 候 ；当 物 体 的 运 动 范 围 远 远 大 于 它 自 身 的 尺 寸 、 忽 略其 大 小 对 问 题 的 性 质 无 本 质 影 响 的 时 候 。质 点 ： 只 有 质 量 而 无 大 小 的 物 体 。刚 体 ： 有 质 量 、 不 变 形 的 物 体质 点 系 ： 由 若 干 质 点 组 成 的 、 有 内 在 联 系 的 系 统 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 动力学介绍动 力 学 主 要 研 究 以 下 两 类 基 本 问 题已 知 物 体 的 运 动 规 律 ， 求 作 用 在 此 物 体 上 的 力 ；已 知 作 用 于 物 体 上 的 力 ， 求 此 物 体 产 生 什 么 样 的运 动 。动 力 学 正 问 题 已 知 运 动 的 原 因 ， 求 运 动 的 结 果 。动 力 学 反 问 题 已 知 运 动 的 结 果 ， 求 产 生 运 动 的 原 因 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 目 的 要 求1 对 质 点 动 力 学 的 基 本 概 念 （ 如 惯 性 、 质 量 等 ）和 动 力 学 基 本 定 律 要 在 物 理 课 程 的 基 础 上 进 一步 理 解 其 实 质 。2 深 刻 理 解 力 和 加 速 度 的 关 系 ， 能 正 确 地 建 立质 点 的 运 动 微 分 方 程 ， 掌 握 质 点 动 力 学 第 一 类基 本 问 题 的 解 法 。3 掌 握 质 点 动 力 学 第 二 类 基 本 问 题 的 解 法 ， 并会 根 据 题 目 的 已 知 条 件 正 确 提 出 运 动 的 初 始 条件 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第一节 动力学的基本定律牛 顿 第 一 定 律牛 顿 定 律 ， 是 牛 顿 在 自 然 哲 学 的 数 学 原 理 中建 立 的 描 述 物 体 机 械 运 动 的 运 动 学 三 定 律 ， 亦 称为 动 力 学 基 本 定 律 。第 一 定 律 (惯 性 定 理 ) 任 何 质 点 如 不 受 力 作 用， 将 永 远 保 持 其 静 止 或 匀 速 直 线 运 动 状 态 。定 律 定 义 了 惯 性 参 考 系 。 涉 及 到 了 静 止 和 匀 速 直线 运 动 ， 也 就 涉 及 了 参 考 系 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第一节 动力学的基本定律牛 顿 第 一 定 律 惯 性 参 考 系 ： 以 太 阳 为 原 点 ， 三 个 坐 标 轴 指 向三 个 恒 星 的 日 心 参 考 系 是 惯 性 参 考 系 。 如 果 在 地 球 的 引 力 场 内 ， 研 究 人 造 地 球 卫 星、 大 气 流 动 、 洲 际 导 弹 等 等 的 机 械 运 动 ， 忽 略 掉地 球 公 转 的 加 速 度 ， 只 考 虑 地 球 自 转 的 影 响 。 选择 以 地 心 为 原 点 ， 三 个 坐 标 轴 指 向 三 个 恒 星 的 地心 参 考 系 是 惯 性 参 考 系 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第一节 动力学的基本定律牛 顿 第 一 定 律如 果 只 限 于 地 球 表 面 及 其 邻 近 范 围 的 机 械 运 动， 对 于 绝 大 多 数 的 工 程 问 题 来 说 ， 研 究 对 象 的加 速 度 一 般 都 要 比 地 球 自 转 而 使 之 产 生 的 附 加的 加 速 度 大 很 多 ， 倘 若 要 求 的 精 度 不 很 高 ， 为了 计 算 简 便 ， 可 选 择 地 面 参 考 系 。 忽 略 掉 地 球自 转 ， 选 择 地 球 参 考 系 为 惯 性 参 考 系 。 地 球 参考 系 有 时 也 叫 地 面 参 考 系 。如 不 特 别 指 明 ， 均 采 用 地 球 参 考 系 作 为 分 析 计算 的 标 准 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第一节 动力学的基本定律牛 顿 第 二 定 律 （ 力 与 加 速 度 之 间 的 关 系 定 律 ）质 点 的 质 量 与 加 速 度 的 乘 积 ， 等 于 作 用 于 质 点 的力 的 大 小 ， 加 速 度 的 方 向 与 作 用 力 的 方 向 相 同 。 质 点 的 质 量 与 其 加 速 度 的 乘 积 等 于 作 用 在 此 质 点 上 诸力 的 合 力 。 该 定 律 表 明 ， 质 量 是 质 点 惯 性 的 度 量 。如 果 在 质 点 上 同 时 作 用 了 几 个 力 ， 该 质 点 所 产 生 的 加 速度 则 取 决 于 这 些 力 的 合 力 的 大 小 和 方 向 。 式 为 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第一节 动力学的基本定律牛 顿 第 三 定 律 （ 作 用 力 与 反 作 用 力 定 律 ）任 何 两 个 质 点 间 的 相 互 作 用 力 总 是 大 小 相等 ， 方 向 相 反 ， 沿 着 同 一 直 线 ， 且 分 别 作用 在 这 两 个 质 点 上 。 该 定 律 也 称 为 作 用 与反 作 定 律 。 该 定 律 说 明 两 个 质 点 不 论 是 静 止 平 衡 的 ， 还是 运 动 的 ， 它 们 之 间 的 作 用 力 和 反 作 用 力 总 是 大小 相 等 ， 方 向 相 反 。 牛 顿 定 律 的 结 论 只 有 在 惯 性 参 考 系 才 是 正 确的 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程矢 量 形 式1 、 在 直 角 坐 标 轴 上 的 投 影 2 2 22 2 2, ,xi yi zix y zm F m F m Ft t t d d dd d d zx yMry xz o Fa v 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程2、 在 自 然 坐 标 下3 、 质 点 动 力 学 的 两 类 基 本 问 题 第 一 类 问 题 ： 已 知 运 动 求 力 .第 二 类 问 题 ： 已 知 力 求 运 动 .混 合 问 题 ： 第 一 类 与 第 二 类 问 题 的 混 合 .2, , 0t ti ni bivma F m F F 有 nb na a FnFa FM 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 一 ：设 质 量 为 m的 质 点 M在 oxy平 面 内 运 动 ， 如 图 所示 ， 其 运 动 方 程 为 ： ， 。式 中 a、 b及 k都 是 常 数 ， 试 求 作 用 于 质 点 上 的 力 F。 ktax cos ktby sin第 一 类问 题 rmkF 2有 心 力 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 60 例 9-3 一 圆 锥 摆 ,如 图 所 示 。 质 量 m=0.1kg的 小球 系 于 长 l=0.3m 的 绳 上 ,绳 的 另 一 端 系 在 固 定 点 O,并 与 铅 直 线 成 角 。 如 小 球 在 水 平 面 内 作 匀速 圆 周 运 动 ， 求 小 球 的 速 度 v与 绳 的 张 力 。第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 研 究 小 球 ，解 : N96.1cos mgF sm1.2sin 2 mFlv 这 是 混 合 问 题 。 cos 0F mg 2 sinvm Fb sinb l 其 中解 得第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 例 9-4 粉 碎 机 滚 筒 半 径 为 ， 绕 通 过 中 心 的 水平 轴 匀 速 转 动 ， 筒 内 铁 球 由 筒 壁 上 的 凸 棱 带 着 上 升 。为 了 使 小 球 获 得 粉 碎 矿 石 的 能 量 ， 铁 球 应 在 时 才 掉 下 来 。 求 滚 筒 每 分 钟 的 转 数 n 。 0第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 解 ： 研 究 铁 球 cos2 mgFRvm N Rnv 30其 中 解 得时当 ,0,0 NF 0cos549.9 Rgn 球 不 脱 离 筒 壁 。时当 ,49.9 Rgn第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 【 思 考 题 】 1 选 择 题 （ 1） 如 图 所 示 ， 质 量 为 m的 质 点 受 力 F作 用 ， 沿 平 面 曲 线 运动 ， 速 度 为 v。 试 问 下 列 各 式 是 否 正 确 ？FdtdvmbFdtdvma .,. ( )A a、 b都 正 确 。 B a、 b都 不 正 确 。C a正 确 ， b不 正 确 。D a不 正 确 ， b正 确 。 v n FMA第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 (2)重 量 为 P的 汽 车 ， 以 匀 速 v驶 过 凹 形 路 面 。 试 问 汽 车 过 路面 最 低 点 时 ， 对 路 面 的 压 力 如 何 ? （ ） A.压 力 大 小 等 于 P。 B.压 力 大 小 大 于 P。 C.压 力 大 小 小 于 P。 D.已 知 条 件 没 给 够 ， 无 法 判 断 。B （ 3） 质 量 为 m的 质 点 ， 自 A点 以 初 速 度 v0 向 上 斜 抛 。 试问 质 点 在 落 地 前 ， 其 加 速 度 大 小 、 方 向 是 否 发 生 变 化 ？ （ 空气 阻 力 不 计 ） （ ）A.加 速 度 大 小 不 变 、 而 方 向 在 变 化 。B.加 速 度 大 小 在 变 化 、 而 方 向 不 变 。C.加 速 度 大 小 、 方 向 都 在 变 化 。D.加 速 度 大 小 、 方 向 都 不 变 化 。D第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 2 判 断 题 （ 1） 质 点 的 运 动 方 程 和 运 动 微 分 方 程 的 物 理 意 义 相 同 .（ ）错（ 2） 已 知 质 点 的 运 动 方 程 就 可 确 定 作 用 于 质 点 上 的 力 ； 已 知 作 用 于 质 点上 的 力 也 可 确 定 质 点 的 运 动 方 程 。 （ ）错3 如 图 所 示 ， 重 为 P的 小 球 用 两 绳 悬 挂 。 若 将 绳 AB突 然 剪 断， 则 小 球 开 始 运 动 。 求 小 球 刚 开 始 运 动 瞬 时 绳 AC的 拉 力 及 AC在 铅 垂 位 置 时 的 拉 力 。 PAB C )cos23(;cos 21 GFGF TT答 案 ：第二节 质点的运动微分方程 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 二 如 图 所 示 ， 桥 式 起 重 机 上 跑 车 悬 吊 一 重为 W的 重 物 ， 沿 水 平 横 梁 作 匀 速 运 动 ， 其 速 度 为v0 ， 重 物 的 重 心 至 悬 挂 点 的 距 离 为 l； 由 于 突 然 刹车 ， 重 物 的 重 心 因 惯 性 绕 悬 挂 点 O 向 前 摆 动 ， 试求 钢 绳 的 最 大 拉 力 。 第 一 类问 题 cos2 WFlvgW T coscos 22 glvWWlvgWF T 12glvW 动 荷 系 数附 加 动 反 力 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程第 二 类 问 题 ： 外 力 是 常 数 或 只 与 时 间 有 关 时质 点 运 动 微 分 方 程v 当 F = F(t) 或 F = C时初 始 条 件 动 量定 理 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 三 从 某 处 抛 射 一 物 体 ， 已 知 初 速 度 为 V0，抛 射 角 即 初 速 度 对 水 平 线 的 仰 角 为 ； 如 不 计 空气 阻 力 ， 试 求 物 体 在 重 力 W单 独 作 用 下 的 运 动 规律 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程外 力 只 与 速 度 有 关 时 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 四 质 量 为 m的 物 体 由 A处 自 由 下 降 ， 如 图所 示 。 已 知 与 空 气 对 下 沉 物 体 的 运 动 阻 力 为F=v2 ， v为 矿 石 的 沉 降 速 度 ， 系 数 为 常 数 。试 求 矿 石 的 沉 降 速 度及 运 动 规 律 。 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 四 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程外 力 只 与 位 移 有 关 时 动 能定 理 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 五 垂 直 于 地 面 向 上 发 射 一 物 体 ， 试 求 该 物体 在 地 球 引 力 作 用 下 的 运 动 速 度 ， 并 求 第 二 宇宙 速 度 。 不 计 空 气 阻 力 及 地 球 自 转 的 影 响 。 第 一 宇 宙 速 度 ： 绕 地 球 旋 转RvmRGMm 22 gRRGMv 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程例 题 五 垂 直 于 地 面 向 上 发 射 一 物 体 ， 试 求 该 物体 在 地 球 引 力 作 用 下 的 运 动 速 度 ， 并 求 第 二 宇宙 速 度 。 不 计 空 气 阻 力 及 地 球 自 转 的 影 响 。 第 二 宇 宙 速 度 ： 脱 离 地 球 引 力 xgRgRvv 2 20 22 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 第二节 质点的运动微分方程书 上 例 题例 题 10 1 动 画 例 题 10 2 动 画例 题 10 3 动 画 例 题 10 4 动 画 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波 理 论 力 学 临 沂 大 学 机 械 工 程 学 院 机 械 工 程 系 徐 波