2019年高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十八 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 文.doc

2019年高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十八 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 文一、选择题(每小题5分,共25分)1.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.(-,)B.-,C.D.【解析】选D.设直线l方程为y=k(x-4),则由题意知,1,所以-k.2.设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么 ()A.点P在直线L上,但不在圆M上B.点P在圆M上,但不在直线L上C.点P既在圆M上,又在直线L上D.点P既不在圆M上,也不在直线L上【解析】选C.因为把点P的坐标代入直线L方程,得2+1-3=0,所以点P在直线上,把点P的坐标代入圆M的方程,得(2-3)2+(1-2)2=2,所以点P在圆M上.所以点P既在圆M上,又在直线L上.【变式备选】直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【解析】选B.圆心为(0,0),到直线y=x+1即x-y+1=0的距离d=,而0<<1,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.3.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】选B.因为圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为=,又截得的弦长为4,所以圆的半径为r=,所以2-a=6,所以a=-4.【变式备选】设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=()A.1B.C.D.2【解析】选D.直线y=x过圆x2+y2=1的圆心C(0,0),则|AB|=2.4.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=0 【解析】选D.由已知可设圆心为(a,0)(a>0),因为直线3x+4y+4=0与圆C相切,所以=2,解得a=2,所以圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.【变式备选】直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“OAB的面积为”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.如图,当k=1时,OAB的面积为,但是当k=-1时,OAB的面积也为,所以“k=1”是“OAB的面积为”的充分不必要条件.5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为()A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【解析】选C.设直线的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为,所以=,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.【变式备选】过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x+12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x-12y+20=0或x+4=0【解析】选B.圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8知,圆心(-1,2)到直线l的距离d=3.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=-4时,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,则有=3,所以k=-.此时直线l的方程为5x+12y+20=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为_.【解析】设圆心O到AC,BD的距离分别为d1,d2,则+=OM2=3.四边形ABCD的面积是S = |AC|BD| = 28-(+)=5.答案:57.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=_.【解析】由题设可知圆心到直线的距离为=,所以a2+b2=2.答案:28.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为_.【解析】由已知得圆的方程是(x-3)2+(y-4)2=5,如图,又由圆的切线性质得|CP|=,|CO|=5,得|PO|=2,因为PQCO,所以|PA|OC|=|CP|OP|,所以|PA|=2,所以|PQ|=4.答案:4【变式备选】直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于_.【解析】如图,设A,B是切点,所以l1与l2的夹角的正切值为tan 2APO=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点A(1,a),圆x2+y2=4.(1)若过点A的圆的切线只有一条,求a的值及切线方程.(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2,求a的值.【解析】(1)由于过点A的圆的切线只有一条,则点A在圆上,故12+a2=4,所以a=.当a=时,A(1,),易知所求切线方程为x+y-4=0;当a=-时,A(1,-),易知所求切线方程为x-y-4=0.(2)设过点A的直线方程为x+y=b,则1+a=b,即a=b-1,又圆心(0,0)到直线x+y=b的距离d=,所以+=4,则b=,因此a=b-1=-1.10.已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值.(2)对于l上任意一点P,MPN恒为锐角或零角,求实数k的取值范围.【解析】(1)因为点M,N到直线l的距离相等,所以lMN或l过MN的中点.因为M(0,2),N(-2,0),所以直线MN的斜率kMN=1,MN的中点坐标为C(-1,1).又因为直线l:kx-y-2k+2=0过定点D(2,2),所以当lMN时,k=kMN=1;l过MN的中点时,k=.综上可知,k的值为1或.(2)因为对于l上任意一点P,MPN恒为锐角,所以l与以MN为直径的圆相离,即圆心(-1,1)到直线l的距离大于半径,所以d=>,解得k<-或k>1.1.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于()A.3B.2C.D.1【解析】选B.圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为d=1,所以弦AB的长等于2=2.【变式备选】过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.B.2C.D.2【解析】选D.x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,所以A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,所以ON=,所以弦长为2.2.(5分)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径长r的取值范围是()A.(4,6)B.4,6)C.(4,6D.4,6【解析】选A.因为圆心(3,-5)到直线的距离为d=5,所以满足题意的半径r的取值范围是(4,6).3.(5分)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.5B.10C.15D.20【解析】选B.圆x2+y2-2x-6y=0的圆心为M(1,3),半径为,因为过点E(0,1)的最长弦AC为圆的直径,所以|AC|=2,最短的弦BD垂直于AC,且E为BD的中点,如图,|ME|=,|MB|=,所以|BE|=,所以弦长|BD|=2,所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|=22=10.【变式备选】已知圆M:(x+cos )2+(y-sin )2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:对任意实数k与,直线l和圆M相切;对任意实数k与,直线l和圆M有公共点;对任意实数,必存在实数k,使得直线l与圆M相切;对任意实数k,必存在实数,使得直线l与圆M相切.其中真命题的序号是_.【解析】圆心坐标为(-cos ,sin ),d=|sin(+)|1.正确.答案:4.(12分)已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程.(2)是否存在正实数r,使得动圆C满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个?若存在,请求出r;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中(a,b)满足a-b+10=0.又因为动圆C过点(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组得或故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=5.当r满足r+5<d时,动圆C中不存在与圆O:x2+y2=r2相切的圆;当r满足r+5=d,即r=5-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2相外切;当r满足r+5>d,即r>5-5时,与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有两个.综上,当r=5-5时,动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个.5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程.(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.【解析】(1)由 得圆心C为(3,2),因为圆C的半径为 1,所以圆C的方程为:(x-3)2+(y-2)2=1,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,所以=1,所以|3k+1|=,所以2k(4k+3)=0,所以k=0或k=-,所以所求圆C的切线方程为:y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,所以,设圆心C为(a,2a-4) ,则圆C的方程为:(x-a)2+y-(2a-4)2=1,又因为|MA|=2|MO|,所以设M为(x,y),则=2,整理得:x2+(y+1)2=4,设为圆D,所以点M应该既在圆C上又在圆D上,即:圆C和圆D有交点, 所以|2-1|2+1|,由5a2-12a+80得aR,由5a2-12a0得0a, 综上所述,a的取值范围为.