2019-2020年高考数学一轮复习 2.2 函数值域的求法教案 新课标.doc
2019-2020年高考数学一轮复习 2.2 函数值域的求法教案 新课标一、知识梳理:1、基本初等函数的值域:(1)一次函数的值域:R(2)反比例函数的值域:(3)二次函数的值域: 时,;时,;二次函数在给定区间上的值域:由图象考虑取:(4)指数函数的值域:(5)对数函数的值域:R(6)幂函数的值域:时,值域为或,时,值域为,时,值域为或(7)三角函数的值域分别为:2、求函数值域的方法:(1)直接法:初等函数或初等函数的复合函数,从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;(2)二次函数法:形如的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域;(3)换元法:代数换元,三角换元,均值换元等。(4)反表示法:将求函数的值域转化为求它的反函数的值域;(5)判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;(6)单调性法:利用函数在定义域上的单调性求值域;(7)基本不等式法:利用各基本不等式求值域;(8)图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域;(9)求导法:当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值,再得值域;(10)几何意义法:由数形结合,转化斜率、距离等求值域。二、典例讨论:题型一。初等函数的复合函数:例1、求下列函数的值域:(1)(2)(3)(4)呢? (5)已知,求函数的值域。解:的定义域为,由此可得值域为0,3;题型二。其它函数例2、求下列函数的值域:(1)分子常数化法: 点评:适用一次分式函数型(2)反表示法: 点评:类似地:(3)法:求函数y=值域先因式分解,能约先约。解:,函数的定义域R,原式可化为,整理得,若y=1,即2x=0,则x=0;若y1,R,即有0,,解得且 y1.综上:函数是值域是y|.点评:适用二次分式函数型,先因式分解,能约先约。(4)特殊地:基本不等式法,求导法:(5)配方法:解:,(6)换元法: 换元法: 三角换元法:(7)函数单调性法: 用的单调性:点评:可用导数法求之(8)分段函数图象法:求 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解:将函数化为分段函数形式:,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是y|y3.(9)几何意义法、数形结合:解:构造点得:点评:亦可用合一法解之。题型三。给定函数值域,求参数的取值范围例3、已知函数的定义域为R,值域为0,2,求m,n的值。解:,因为值域为0,2,设,其,所以,验证:得四、课后作业: 1 求下列函数的最值与值域:(1)y=2x-;(2)y=x+;(4)y=.解 (1)方法一 令=t(t0),则x=.y=1-t2-t=-(t+2+.二次函数对称轴为t=-,在0,+)上y=-(t+2+是减函数,故ymax=-(0+2+=1.故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-,1.方法二 y=2x与y=-均为定义域上的增函数,y=2x-是定义域为x|x上的增函数,故ymax=2=1,无最小值.故函数的值域为(-,1.(2)方法一 函数y=x+是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x0时,即可知x0时的最值.当x0时,y=x+2=4,等号当且仅当x=2时取得.当x0时,y-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为(-,-44,+),无最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x-2或x2时,f(x)递增,当-2x0或0x2时,f(x)递减.故x=-2时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时,f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为(-,-44,+),无最大(小)值.(3)将函数式变形为y=,可视为动点M(x,0)与定点A(0,1)、B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.ymin=|AB|=,可求得x=时,ymin=.显然无最大值.故值域为,+).2若函数的最大值为4,最小值为-1,求实数a,b的值