2019年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课后提升训练（含解析）新人教A版选修1-1.doc

2019年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课后提升训练（含解析）新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=x2+2的极小值是()A.1B.2C.5D.不存在【解析】选C.f(x)=2x-,令f(x)=0,解得x=1,当x(0,1)时函数单调递减,当x(1,+)时函数单调递增,因此x=1是函数的极小值点,极小值为f(1)=5.2.(xx凉山模拟)函数f(x)=mlnx-cosx在x=1处取得极值,则m的值为()A.sin1B.-sin1C.cos1D.-cos1【解析】选B.因为f(x)=+sinx,由题意得:f(1)=m+sin1=0,所以m=-sin1.3.函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是()A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选D.f(x)=-2x-3x2,令f(x)=0有x=0或x=-.当x<-时,f(x)<0;当-<x<0时,f(x)>0;当x>0时,f(x)<0.从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-时,f(x)取得极小值.4.下列说法正确的是()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数f(x)=|x|只有一个极小值D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+b)=(当且仅当=且a+b=6,即a=2b=4时取“=”).6.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为()A.(-1,2)B.(-3,6)C.(-,-1)(2,+)D.(-,-3)(6,+)【解析】选D.f(x)=3x2+2ax+(a+6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么=(2a)2-43(a+6)>0,解得a>6或a<-3.7.(xx广州高二检测)设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0xxx),则函数f(x)的各极大值之和为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意,得f(x)=(ex)(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)=2exsinx,所以x(2k,2k+)时f(x)递增,x(2k+,2k+2)时,f(x)递减,故当x=2k+时,f(x)取极大值,其极大值为f(2k+)=e2k+sin(2k+)-cos(2k+)=e2k+,又0xxx,所以函数f(x)的各极大值之和为S=e+e3+e5+exx=8.已知函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(x)+xf(x)=,f(e)=,则下列结论正确的是()A.f(x)有极大值无极小值B.f(x)有极小值无极大值C.f(x)既有极大值又有极小值D.f(x)没有极值【解析】选D.因为f(x)+xf(x)=,所以xf(x)=,所以xf(x)=(lnx)2+c.又因为f(e)=,所以e=(lne)2+c,解得c=,所以f(x)=(lnx)2+1,f(x)=0,所以函数f(x)在(0,+)上为减函数,所以f(x)在(0,+)上没有极值.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(xx银川高二检测)函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为.【解析】因为f(x)=x3-x4,所以f(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f(x)=0,则x=0或x=1,因为x,所以x=1,并且在x=1左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,所以函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为1.答案:1【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图象分析再下结论是不是其极值点.10.已知函数f(x)=x4+9x+5,则f(x)的图象在(-1,3)内与x轴的交点的个数为.【解析】因为f(x)=4x3+9,当x(-1,3)时,f(x)>0,所以f(x)在(-1,3)上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=5>0,所以f(x)在(-1,3)内与x轴只有一个交点.答案:1个三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.(1)求函数的单调区间.(2)求函数的极大值与极小值的差.【解析】y=3x2+6ax+3b,因为x=2是函数的极值点,所以12+12a+3b=0,即4+4a+b=0.又图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,所以y|x=1=3+6a+3b=-3,即2a+b+2=0.由解得a=-1,b=0.此时,y=3x2-6x=3x(x-2).(1)令y>0,得x(x-2)>0,所以x<0或x>2;令y<0,得x(x-2)<0,所以0<x<2.所以函数在(0,2)上是减函数,在(-,0)和(2,+)上是增函数.(2)由(1)可以断定,x=0是极大值点,x=2是极小值点,又y=f(x)=x3-3x2+c,所以y极大值-y极小值=f(0)-f(2)=c-(8-12+c)=4.12.(xx山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)g(x)=f(x)=lnx-2ax+2a,所以g(x)=-2a=.当a0,x时,g(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x时,g(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a0时,函数g(x)单调递增区间为(0,+).当a>0时,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f(1)=0.当a0,f(x)单调递增,所以x时,f(x)<0,f(x)单调递减,x时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0<a<,>1时,由(1)知f(x)在内单调递增,所以x时,f(x)<0,f(x)单调递减,x时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=,=1时,f(x)在内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以x时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a>,0<<1时,x,f(x)>0,f(x)单调递增,当x时,f(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知a>.【补偿训练】已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值.(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以-=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-120,即c6时,f(x)0恒成立,此时函数f(x)无极值.【能力挑战题】已知函数f(x)=(c>0且c1,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点.(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m1时k的取值范围.【解析】(1)f(x)=,由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)因为c0,所以k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0,由根与系数的关系知另一个极值点为x=1(或x=c-).(2)由(*)式得k=,即c=1+.当c>1时,k>0;当0<c<1时,k<-2.(i)当k>0时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减函数,在(-c,1)内是增函数.所以M=f(1)=>0,m=f(-c)=<0,由M-m=+1及k>0,解得k.(ii)当k<-2时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是增函数,在(-c,1)内是减函数.所以M=f(-c)=>0,m=f(1)=<0,M-m=-=1-1恒成立.综上可知,所求k的取值范围为(-,-2),+).