无穷小量和无穷大量

第 四 节 无 穷 小 和 无 穷 大若 ，0)(lim 0 xxx 则 称 是 当 时 的 无 穷 小)(x 0 xx 1、 定 义 如 果 函 数 当 时 的 极 限为 零 ， 则 称 函 数 是 当 的 无 穷 小 量 .简 称 无 穷 小 . )(x 0 xx 0 xx )(x 对 于 当 , 有 ,则 称 是 当 时 的 无 穷 小 . 00 xx )(x ,0,0 : )(x 0 xx如 xsin 是 当 时 的 无 穷 小 .0 x11x 是 当 时 的 无 穷 小 .x0.000001不 是 无 穷 小 ， 0 是 无 穷 小 。.)1( 时 的 无 穷 小是 当 nn n xe 是 当 时 的 无 穷 小 .x 例 1 证 明 是 的 无 穷 小 .xx 1 x证 ： 因 为 011lim1lim xxxx xx x ., 00 xx 2、 无 穷 小 和 函 数 极 限 的 关 系定 理 1 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 ， 函 数 f(x)有 极 限 A 的 充 要 条 件 是 f（ x） A+ ， 其中 是 无 穷 小 .即 Axf xx )(lim0 Axf )(其 中 0lim0 xx ).(,)( )()( 0 xAxf Xxxxf 误 差 为的 近 似 表 达 式 或附 近在给 出 了 函 数 意 义 定 理 2 有 限 个 无 穷 小 的 和 还 是 无 穷 小 .证 : 只 考 虑 两 个 无 穷 小 的 和 .设 , 是 当 时 的 无 穷 小 , 且 0 xx 因 为 0lim0 xx 和 0lim0 xx3、 无 穷 小 的 运 算 性 质 : 取 ,则 当 时 ,有 21,min 00 xx 22所 以 0lim0 xx 定 理 得 证 .所 以 对 于 ， 存 在 和 0 01 02 当 时 , 有100 xx 2 当 时 , 有200 xx 2 定 理 3 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 。证 ,0时 的 无 穷 小是 当又 设 xx . 0,0,0 202M xx 恒 有 时使 得 当 设 函 数 在 内 是 有 界 的 , 即 存 在 正 数 ， 使 得 对 ,都 有 .u 10,xUOM 10,xUx O Mxu )()(局 部 有 界 变 量 推 论 1 常 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .推 论 2 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .例 2: 求 .xxx sinlim 0sin1limsinlim xxxx xx解 : 因 为 为 有 界 函 数 ,且 xsin 01lim xx,min 21 取 恒 有时则 当 ,0 0 xx uu MM , .,0 为 无 穷 小时当 uxx 二 、 无 穷 大绝 对 值 无 限 增 大 的 变 量 称 为 无 穷 大 . 特 殊 情 形 ： 正 无 穷 大 ， 负 无 穷 大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xxx xx 或注 意 （ 1） 无 穷 大 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;（ 3） 无 穷 大 一 定 是 无 界 变 量 ,但 是 无界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . .)(lim2 0 认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xfxx ., 1sin1,0, 但 不 是 无 穷 大是 一 个 无 界 变 量 时当例 如 xxyx ),3,2,1,0(22 1,0)1( kkxM k 取对 ,22)( kxy k .)(, Mxyk k 充 分 大 时当 ),3,2,1,0(2 1,0)2( kkxM k 取对 于 , kxk 充 分 大 时当 kkxy k 2sin2|)(|但 .0 M 无 界 不 是 无 穷 大 例 3 证 明 当 时 为 无 穷 大 .x x32 0 x证 ： 对 于 0M 323232 xxx x要 使 M， 只 要 即 32 Mx32 M取 ,则 对 ，0M当 时 ， 有 x0 Mx x 32,32 Mx 故 x xx 32lim0 .)4(lim xx ,112 : Mxxx 也 可 以 Mx 1,31min ,31: 故 取只 须 证 ： 对 于 0M 44 xx要 使 M， 只 要 4 1 MX取 , 则 对 ，0M当 时 ， 有1Xx Mx 4,4 Mx 故 )4(lim xx ,2121: Mxxx 也 可 以 MX x 2,8max ,8:2 故 取只 须 .)4(lim xx 三 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系定 理 4 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 ， 如 果 为 无 穷 大 ， 则 为 无 穷 小 ； 反 之 ， 若 为 无 穷 小 ， 且 ,则 为 无 穷 大 . )(xf)(1xf )(xf)(1xf0)( xf 证 .)(lim0 xfxx设 ,)( 0,0,0 0Mxf xxM 恒 有 时使 得 当 .1)(1 Mxf 即 .)(1,0 为 无 穷 小时当 xfxx ,)(1,0 ,0,1,0 0 xfxx M恒 有时 使 得 当则对 于 .0)(,0)(lim, 0 xfxfxx 且设反 之 ,)( 0,0,0 0 xf xx恒 有 时使 得 当 .1)(1 xf从 而.)(1,0 为 无 穷 大时当 xfxx ,0)( xf由 于 ,)(1,0 ,0,1,0 0 Mxfxx MM 恒 有时 使 得 当则对 于 意 义 关 于 无 穷 大 的 讨 论 ,都 可 归 结 为 关 于无 穷 小 的 讨 论 . *垂 直 渐 进 线 如 果 ， 则 称 直 线 是 的 图 象 的 垂 直 渐 近 线 。 )(lim0 xfxx 0 xx )(xfy 如 112 xy 的 垂 直 渐 近 线 为 1x 和 1x*水 平 渐 近 线 ： 如 果 ， 则 称 直 线 是 的 图 象 的 水 平 渐 近 线 。axf x )(lim ay )(xfy 0y 是 水 平 渐 近 线上 例 中