第3章测量误差与数据处理(2)

第第3 3章章 测量误差与数据测量误差与数据处理处理(2)(2)1测量不确定度测量不确定度：表示由于测量误差的影响而对测量结果的不可信程度或有效性的怀疑程度。它是与测量结果相关联的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。通常用标准差不确定度（u）表示 2 2 不确定度评定中常用名词不确定度评定中常用名词（1 1）标标准准不不确确定定度度：用标准偏差表示的测量结果不确定度。3.3.1 测量不确定度的基本概念测量不确定度的基本概念uN N3.3.13.3.1 测量不确定度的基本概念测量不确定度的基本概念（2）标准不确定度的A类评定：对观测列进行统计分析以评定不确定度的方法。3.3.13.3.1 测量不确定度的基本概念测量不确定度的基本概念（3 3）标准不确定度的）标准不确定度的B B类评定类评定：用非统计分析评定标准不确定度的方法。即根据经验、资料或假设的概率分布来评定标准差，得到标准不确定度。一般是根据经验或者有关的信息和资料，分析被测量的可能值的区间（-，），并假设被测量的值的概率分布，由要求的置信水平估计包含因子k，则可求出B类标准不确定度B。例3-2（4）合成标准不确定度）合成标准不确定度：由由各各不不确确定定度度分分量量合合成成的的标标准准不不确确定定度度，称称为为合合成成标标准准不不确确定定度度。当当结结果果由由若若干干其其它它量量得得来来时时，按按其其他他各各量量的的方方差差和和协协方差算得的标准不确定度。方差算得的标准不确定度。（5 5）扩展不确定度）扩展不确定度：扩扩展展不不确确定定度度是是由由合合成成的的标标准准不不确确定定度度的的倍倍数数表表示示的的测测量量不不确确定定度度。它它用用包包含含因因子子k k乘乘以以合合成成标标准准不不确确定定度度得得到到的的一一个个区区间间半半宽宽度度来来表表示示测测量量不不确确定定度度。确确定定测测量量结结果果区区间间的的量量，期期望望测量结果以合理地赋予的较高置信水平包含在此区间内。测量结果以合理地赋予的较高置信水平包含在此区间内。（6 6）包含因子）包含因子：为获得扩展不确定度，作为合成不确定度乘数的数字因子为获得扩展不确定度，作为合成不确定度乘数的数字因子（亦有称（亦有称覆盖因子、扩展因子覆盖因子、扩展因子）（7 7）包含区间）包含区间：基于可获得的信息，能赋予某量的值所处的区间，该区间基于可获得的信息，能赋予某量的值所处的区间，该区间与一定高的概率相联系。与一定高的概率相联系。(8)(8)置信水平（包含概率置信水平（包含概率 ）：）：与包含区间相联系的概率。与包含区间相联系的概率。3 不确定度的主要来源不确定度的主要来源1)1).被测量的定义不完善被测量的定义不完善2)2).复现被测量的定义的方法不理想复现被测量的定义的方法不理想3)3).抽样的代表性不够抽样的代表性不够4).4).赋予计量标准的值或标准物质的值不准赋予计量标准的值或标准物质的值不准5).5).引用的数据或其它参量不准引用的数据或其它参量不准6).6).测量方法和测量程序的近似性和假定性测量方法和测量程序的近似性和假定性7).7).测量仪器的分辩力或鉴别力不够测量仪器的分辩力或鉴别力不够8).8).对模拟仪器的读数存在人为偏离对模拟仪器的读数存在人为偏离9).9).对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善条件的测量与控制不完善10).10).在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化测值的变化4.测量不确定度评定测量不确定度评定方法方法1).确定被测量和测量方法确定被测量和测量方法 测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。2).2).建立数学模型建立数学模型 所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用要识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。出量）的不确定度。建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。不确定度主要来源。如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。别加以说明，如环境因素的影响。3).3).求被测量的最佳估值求被测量的最佳估值 不确定度评定时对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理不确定度评定时对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之值的最佳估计。解为被测量之值的最佳估计。4).4).确定各输入量的标准不确定度确定各输入量的标准不确定度 包括不确定度的包括不确定度的A A类评定和类评定和B B类评定。类评定。5).5).确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献确定度的贡献 由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。6).6).求合成标准不确定度求合成标准不确定度 利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。7).7).求扩展不确定度求扩展不确定度 根根据据被被测测量量的的概概率率分分布布和和所所需需的的置置信信水水准准，确确定定包包含含因因子子，由由合成标准不确定度计算扩展不确定度。合成标准不确定度计算扩展不确定度。8).8).报告测量结果的不确定度报告测量结果的不确定度 报告测量不确定度时，必须给出测量结果。最终不确定度的修报告测量不确定度时，必须给出测量结果。最终不确定度的修约是直接进位，而不是舍去。约是直接进位，而不是舍去。如下图所示如下图所示建立数学模型建立数学模型求最佳值求最佳值B B类评定类评定评定扩展不确定度评定扩展不确定度列出各不确定度分量的表达式列出各不确定度分量的表达式求出合成不确定度求出合成不确定度A A类评定类评定不确定度报告不确定度报告3.3.4 测量不确度的评定步骤测量不确度的评定步骤 1.数学表达式数学表达式 被测量被测量(输出量输出量)y y 与各输入量与各输入量 的函数关系为的函数关系为:2.2.求最佳值求最佳值 (1).(1).求求各输入量各输入量 的的最佳值最佳值 1).1).等精度测量等精度测量测试条件不变、精度相等的测量。测试条件不变、精度相等的测量。若对某量若对某量 进行一系列等精度测量的测得值有进行一系列等精度测量的测得值有:则其测量结果最佳值为则其测量结果最佳值为算术平均值算术平均值应予修正应予修正2).2).不等精度测量不等精度测量 在不同的条件下或不同的测量次数下所进行的精度不在不同的条件下或不同的测量次数下所进行的精度不等的测量。等的测量。测量结果最佳值为测量结果最佳值为加权算术平均值加权算术平均值 式中式中:_ _ 各测量值的权各测量值的权,与各自方差成反比，与各自方差成反比，c c 为系数为系数,一般取一般取1 1(2).(2).求被测量求被测量(输出量输出量)y y的最佳值的最佳值1).1).函数关系只有一个输入量的直接测量，即函数关系只有一个输入量的直接测量，即 Y=cxY=cx x x 的的最佳值就是最佳值就是y y 的的最佳值最佳值2).2).函数关系有几个输入量的间接测量，即函数关系有几个输入量的间接测量，即被测量被测量y y 是通过测量是通过测量各输入量各输入量 而求得而求得 则可：则可：（1 1）先求出被测量）先求出被测量y y 的各分量的估计值的各分量的估计值 ,然后求平均值然后求平均值（2 2）或先求出各输入量）或先求出各输入量 的最佳值，再求出的最佳值，再求出y y的最佳值的最佳值 3).3).对于对于组合测量，组合测量，被测量被测量y y 需用需用最小二乘法最小二乘法求出最佳求出最佳值。3.3.不确定度不确定度A A类评定类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度 (1).(1).求各输入量求各输入量 的单次测量标准差的单次测量标准差 随机变量随机变量x x 在相同条件下进行在相同条件下进行n n次独立测量，其次独立测量，其(测量列测量列)标标准偏差采用贝塞尔公式计算。准偏差采用贝塞尔公式计算。式中：式中：该输入量该输入量n n次测量的算术平均值次测量的算术平均值 该输入量每个测量值的残差该输入量每个测量值的残差 (2).(2).求各输入量求各输入量 的算术平均值的标准差的算术平均值的标准差 值可作为实验室该测量能力的值可作为实验室该测量能力的A A类评定值类评定值 (测量列测量列)的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差则将随着测量次数的增加而减小。的标准偏差则将随着测量次数的增加而减小。例例 原子吸收法测量某样品的铁含量原子吸收法测量某样品的铁含量测量次数测量值(%)残差(%)测量次数测量值(%)残差(%)10.420.01690.400.00420.430.026100.430.02630.400.004110.420.01640.430.026120.410.00650.420.016130.39-0.01460.430.026140.39-0.01470.39-0.014150.400.00480.30-0.104平均值0.404测量结果测量结果平均值平均值为为:测量列标准差测量列标准差为为:平均值平均值标准差标准差为为:不确定度不确定度A A类评定几点说明类评定几点说明如如果果为为客客户户所所做做的的某某项项测测量量不不是是实实验验室室的的常常规规测测量量，则则不不确确定定度的度的A A 类评定应随该项测量实时进行。类评定应随该项测量实时进行。但但实实验验室室常常常常是是在在类类似似的的条条件件下下，用用相相同同的的设设备备相相同同的的方方法法，在在常常规规基基础础上上做做基基本本类类似似性性质质的的测测量量。在在这这种种情情况况下下，通通常常不不需需要要每每次次测测量量都都进进行行A A类类标标准准不不确确定定度度评评定定，可可以以直直接接引引用用预预先先评评定定的的结结果果。对对随随机机变变量量x x根根据据n n个个测测量量结结果果的的有有限限样样本本所所估估计计的的标标准准偏偏差差s sestest，就是对整体样本的标准差，就是对整体样本的标准差（x x）的估计值。）的估计值。如如果果随随后后的的测测量量只只作作几几次次测测量量（典典型型情情况况是是n n3 3），而而且且将将n n次次测测量量的的平平均均值值作作为为结结果果提提供供给给客客户户，则则应应由由原原先先的的实实验验获获得得的的标标准准差差除除以以次次数数n n的的平平方方根根，以以求求得得算算术术平平均均值值的的实实验验标标准准差差u u(x x)。如果如果为用户测量只作为用户测量只作m m次次,则该测量结果则该测量结果A A类评定值为：类评定值为：如果为用户测量只作单次如果为用户测量只作单次,则该测量结果则该测量结果A A类评定值应是原类评定值应是原先估计的标准差乘上修正因子先估计的标准差乘上修正因子,若若k k取取1 1，则为：，则为：T-T-分布修正因子分布修正因子如果评定实验室测量能力时如果评定实验室测量能力时,n n=10=10次次,取取k k=1=1时时,T=1.06;,T=1.06;如果评定实验室测量能力时如果评定实验室测量能力时,n n=5=5次次,取取k k=1=1时时,T=1.14;T=1.14;实际测量结果实际测量结果A A类评定类评定值必须是测量列标准值必须是测量列标准差除予为用户测量实差除予为用户测量实际的次数际的次数m m标准差对应测量次数的修正因子标准差对应测量次数的修正因子T T n nk=1k=1k=2k=2k=3k=3 n nk=1k=1k=2k=2k=3k=33 31.321.322.272.2712121.051.051.131.131.281.284 41.201.201.661.663.073.0713131.041.041.121.121.251.255 51.141.141.441.442.212.2114141.041.041.111.111.231.236 61.111.111.331.331.841.8415151.031.031.101.101.211.217 71.091.091.261.261.631.6316161.031.031.091.091.201.208 81.081.081.221.221.511.5117171.031.031.091.091.181.189 91.071.071.191.191.431.4318181.031.031.081.081.171.1710101.061.061.161.161.361.3619191.031.031.081.081.161.1611111.051.051.141.141.321.3220201.031.031.071.071.151.15 测量列中离群值的剔除测量列中离群值的剔除测量过程如果出现突发事件或人为疏忽，测量列中可能出现异常值，它的测量过程如果出现突发事件或人为疏忽，测量列中可能出现异常值，它的存在将歪曲测量结果，应予以剔除。判别异常值的方法很多，这里介绍两种。存在将歪曲测量结果，应予以剔除。判别异常值的方法很多，这里介绍两种。1.1.莱因达准则莱因达准则如果测量列中某最大残差如果测量列中某最大残差 ，则剔除该值重，则剔除该值重新计算。新计算。2.2.格拉布斯准则格拉布斯准则如果测量列中某最大残差如果测量列中某最大残差 ，则剔除该值重新计算。，则剔除该值重新计算。取值见下表，取值见下表，n n 为测量次数，为测量次数，为显著性水平，为显著性水平，为单次测量标准差。为单次测量标准差。测量次数n g(,n)值=0.01=0.05测量次数n g(,n)值=0.01=0.05测量次数n g(,n)值=0.01=0.0531.151.15122.552.29212.912.5841.491.46132.612.33222.942.6051.751.67142.662.37232.962.6261.911.82152.702.41242.992.6472.101.94162.742.44253.012.6682.222.03172.782.47303.102.7492.322.11182.822.50353.182.81102.412.18192.852.53403.242.87112.482.24202.882.56503.342.96原子吸收法测量某样品的铁含量测量次数测量值(%)残差(%)测量次数测量值(%)残差(%)10.420.01690.400.00420.430.026100.430.02630.400.004110.420.01640.430.026120.410.00650.420.016130.39-0.01460.430.026140.39-0.01470.39-0.014150.400.00480.30-0.104平均值0.404该例中，由15个测量值计算得到单次测量标准差为0.033%。残差最大。用莱因达准则判别：，应将第8测量值剔除，然后对剩下的14个测量值重新计算，直至没有异常值。或用格拉布斯准则判别：取0.05显著性水平，取值为2.41，则:显然同样要剔除第8测量值。注意:剔除异常值每次只能剔除一个；测量次数太少时不宜用莱因达准则判别。各被测量各被测量A类标准不确定度评定类标准不确定度评定步步 骤骤运运 算算 说说 明明数学公式数学公式1对所有测量结果进行修正（修正对所有测量结果进行修正（修正已识别的系统已识别的系统效应效应）2计算修正后的测量结果的计算修正后的测量结果的平均值平均值。即修正后的。即修正后的测量结果之和被测量次数测量结果之和被测量次数n除（如果忽略了步骤除（如果忽略了步骤1,则应补加修正）则应补加修正）3对每一个测量结果求残差，即将每一个结果减对每一个测量结果求残差，即将每一个结果减去其平均值去其平均值4对对每每一一个个残残差差求求平平方方和和，再再求求残残差差平平方方和和除除以以测量次数测量次数n减减1。其结果称为方差。其结果称为方差V。5取正平方根给出一组测量列的标准偏差取正平方根给出一组测量列的标准偏差 6计算平均值的标准偏差，参加标准不确定度合计算平均值的标准偏差，参加标准不确定度合成成如果有几个输入量，也可以先计算输出量合成标准偏差，然后参加标准不确定度合成如果有几个输入量，也可以先计算输出量合成标准偏差，然后参加标准不确定度合成 4.不确定度的B类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度可用信息可用信息以前的测量数据以前的测量数据有关资料与仪器特性的知识和经验有关资料与仪器特性的知识和经验制造厂的技术说明书制造厂的技术说明书校准或其它证书与技术文件提供的数据校准或其它证书与技术文件提供的数据引自手册的标准数据及其不确定度引自手册的标准数据及其不确定度规定实验方法的技术文件所给出的重复性限或复现性限规定实验方法的技术文件所给出的重复性限或复现性限.根据经验和有关信息或资料根据经验和有关信息或资料,先分析该先分析该B B类不确定度分量的类不确定度分量的置置信区间半宽信区间半宽a a,以及包含因子以及包含因子k,k,则该分量则该分量 为为:B B类不确定度少不了测量仪器引进的因素类不确定度少不了测量仪器引进的因素,可参考下表计算。可参考下表计算。5.合成合成标准不确定度评定标准不确定度评定 若测量不确定度具有若干个分量时，则总不确定度应由所有若测量不确定度具有若干个分量时，则总不确定度应由所有各标准不确定度分量（各标准不确定度分量（A类评定和类评定和B类评定结果）来合成，称为类评定结果）来合成，称为合成标准不确定度。合成标准不确定度即合成标准合成标准不确定度。合成标准不确定度即合成标准(偏偏)差，由合差，由合成方差的平方根给出。成方差的平方根给出。根据数学模型可列出各输入量的不确定度分量表达式根据数学模型可列出各输入量的不确定度分量表达式 (1).直接测量的评定直接测量的评定对于对于 的直接测量的直接测量,则则:如果如果 ，c为常数，则：为常数，则：C称灵敏系数，说明称灵敏系数，说明x 对对y 的不确定度贡献率是的不确定度贡献率是 倍。倍。(2).间接测量的评定间接测量的评定 1).1).输入量不相关（彼此独立）的标准不确定度合成输入量不相关（彼此独立）的标准不确定度合成被测量被测量y y 是由测量各输入量是由测量各输入量 求得，设各输入量求得，设各输入量 相互相互独立，独立，则：则：式中式中 为不确定度传播系数或灵敏系数为不确定度传播系数或灵敏系数,用用 c c表示。表示。含义含义是输入量是输入量x xi i 的单位变化引起的输出量的单位变化引起的输出量y y的变化量。的变化量。不同，各不同，各输输入量入量 对输出量对输出量y y 的不确定度贡献也的不确定度贡献也不同。不同。先求出各个输入量的不确定度分量先求出各个输入量的不确定度分量 ，然后，计算传播，然后，计算传播系数（灵敏系数）系数（灵敏系数），最后计算由此引起的被测输出量最后计算由此引起的被测输出量y y 的标准不确的标准不确定度分量定度分量)规则规则1:1:当当 加减函数关系，用绝对不确定度加减函数关系，用绝对不确定度 表示比较方便，表示比较方便，有：有：例如例如:y y=(=(p p-q q+r r)，其中其中p p=6.02=6.02，q q=6.45=6.45，r r=9.04;=9.04;标准不确标准不确定度分别为定度分别为:u u(p p)=0.13,)=0.13,u u(q q)=0.05)=0.05，u u(r r)=0.22.)=0.22.则有则有 y y=6.02-6.45+9.04=7.61=6.02-6.45+9.04=7.61)规则规则2:2:当当 乘幂函数关系，则可乘幂函数关系，则可对函数取对数后求偏导，显然用相对不确定度对函数取对数后求偏导，显然用相对不确定度 表示十分方便，有：表示十分方便，有：例例 园形截面积试棒抗拉强度园形截面积试棒抗拉强度 的计算公式为的计算公式为，式式中中F F 是是拉拉力力，由由万万能能试试验验机机读读数数，d d 是是用用园园形形截截面面积积试试棒棒的的直直径径，不不考考虑虑温温度度效效应应和应变率效应，求抗拉强度测量结果和应变率效应，求抗拉强度测量结果 的合成标准不确定度。的合成标准不确定度。分分析析可可知知，输输入入量量F F 和和d d 互互不不相相关关，相相关关函函数数r r(F(F，d)d)0 0，应应用用规规则则2 2 ，相相对对合合成标准不确定度表示为：成标准不确定度表示为：例例 y y=(=(opop/qrqr)，其中，其中o o=2.46=2.46，p p=4.32=4.32，q q=6.38=6.38，r r=2.99,=2.99,标准不确定度分标准不确定度分别为别为:u u(o o)=0.02)=0.02，u u(p p)=0.13)=0.13，u u(q q)=0.11)=0.11，u u(r r)=0.07.)=0.07.则有则有:y y=(2.464.32)/(6.382.99)=0.56=(2.464.32)/(6.382.99)=0.56)规则3:在进行不确定度分量合成时，为方便起见，可将原始的数学模型分解，将其变为只包括上述原则之一所覆盖的形式。如：表达式（x1x2）/(x3+x4)应分解成两个部分：（x1x2）和(x3+x4)。每个部分的临时不确定度用规则1计算，然后将这些临时不确定度用规则2合成为合成标准不确定度。例：被测量，且各输入量相互独立无关，若已知：x1=20，x2=80，x3=40，x4=4；u(x1)=0.02，u(x2)=0.10，u(x3)=0.04u(x4)=0.003。求合成标准不确定度uc(y)解：先求出的标准不确定度，因输入量互不相关，采用方和根方法计算：然后再采用方和根方法求被测量的合成标准不确定度uc(y)：(2).(2).组合测量的评定组合测量的评定最小二乘法简介最小二乘法简介 如果两个物理量如果两个物理量X X、Y Y存在线性关系，存在线性关系，y y=a+b=a+bx x，对对X X、Y Y独立独立测得测得n n对数据对数据（n n大于欲求的参数大于欲求的参数a a、b b的数目）。由于测量存在误差的数目）。由于测量存在误差，如果将如果将这些数据代方程，显然结果是矛盾的。为求得最佳值，这些数据代方程，显然结果是矛盾的。为求得最佳值，根据最根据最小二乘法原理，应小二乘法原理，应是使所有测得值的误差的平方和最小的值。是使所有测得值的误差的平方和最小的值。y y=a+b=a+bx x的误差方程为：的误差方程为：将上列各式两边平方，然后相加，得残差的平方和：将上列各式两边平方，然后相加，得残差的平方和：欲使：欲使：，则需使上式对则需使上式对a a、b b求偏导全为零，求偏导全为零，即：即：亦即：亦即：和和解得：解得：于是:将a、b值代入误差方程，可求得残差和残差的平方和，y的实验标准差s(y)为：a、b标标准差s(a)、s(b)为：参数a、b是由同一组测量结果计算得到，两者存在一定的相关性。对等式（1）两边求方差得：相关系数r 为：6.扩展不确定度的计算方法扩展不确定度的计算方法 测测量量不不确确定定度度的的定定义义注注1指指出出，测测量量不不确确定定度度是是“标标准准偏偏差差或或其其倍倍数数。或或说说明明了了置置信信水水准准的的区区间间的的半半宽宽度度”。也也就就是是说说，测测量量不不确确定定度度需需要要用用两两个个数数来来表表示示：一一个个是是测测量量不不确确定定度度的的大大小小，即即置置信信区区间间；另另一一个个是是置置信信概概率率（或称置信水准），表明测量结果落在该区间有多大把握。（或称置信水准），表明测量结果落在该区间有多大把握。到到目目前前我我们们仅仅给给出出了了标标准准不不确确定定度度分分量量和和合合成成标标准准不不确确定定度度的的评评定定方方法法，标标准准不不确确定定度度分分量量的的置置信信概概率率都都比比较较低低。例例如如服服从从正正态态分分布布的的合合成成标标准准不不确确定定度度的的置置信信概概率率p 68左左右右，服服从从矩矩形形分分布布的的合合成成标标准准不不确确定定度度的的置置信信概概率率p 58左左右右。为为了了提提高高测测量量的的可可靠靠性性，需需要要将将置置信信区区间间进进行行扩扩大大，以以提提供供一一个个较较高高的的置置信信概概率率。因因此此，可可将将合合成成标标准准不不确确定定度度uc(y)乘乘以以包包含含因因子子（覆盖因子、范围因子）（覆盖因子、范围因子）k，以给出扩展不确定度（范围不确定度），以给出扩展不确定度（范围不确定度）U(y)：它并没有提供不确定度的任何新的信息，只是以前不确定度评定所提供的信它并没有提供不确定度的任何新的信息，只是以前不确定度评定所提供的信息的一种不同表示形式。息的一种不同表示形式。扩展不确定度也可以用相对不确定度表示，通常用表示：扩展不确定度也可以用相对不确定度表示，通常用表示：包含因子（覆盖因子、扩展因子）包含因子（覆盖因子、扩展因子）k k的选择的选择1).1).当被测量的当被测量的Y Y可能值可能值y y及其合成标准不确定度及其合成标准不确定度 的概率的概率分布近似为正态分布，且分布近似为正态分布，且 的有效自由度的有效自由度 较大（较大（5050）时，在合成标准不确定度）时，在合成标准不确定度 确定后，直接给出相确定后，直接给出相应的包含因子应的包含因子k k即可，并按式即可，并按式:计算扩展不确定度计算扩展不确定度U U。通常取通常取k k=23=23。k k=2=2时，对应的置信概率时，对应的置信概率p=p=95.45%95.45%；k k=3=3时，对应的置信概率时，对应的置信概率p=p=99.73%99.73%。对于普通的检测和校准实验室，如果没有特殊的要求，通常对于普通的检测和校准实验室，如果没有特殊的要求，通常取包含因子取包含因子k k=2=2。2 2）如果合成不确定度中包含一项占支配地位的分量，这时合）如果合成不确定度中包含一项占支配地位的分量，这时合成不确定度的概率分布就依占支配地位的分量的概率分布。例成不确定度的概率分布就依占支配地位的分量的概率分布。例为矩形分布，则包含因子应取为为矩形分布，则包含因子应取为k k1.651.65，即，即U U1.65 1.65 才对应才对应9595的置信水平。的置信水平。3 3）如果合成不确定中）如果合成不确定中A A类评定的分量占的比重较大，而且作类评定的分量占的比重较大，而且作A A类类评定时重复测量次数评定时重复测量次数n n较少，则包含因子较少，则包含因子k k必须用查必须用查t t分布表获得。分布表获得。合成标准不确定度合成标准不确定度 的有效自由度的有效自由度 为；为；-分量分量 为灵敏为灵敏系数系数 对于对于A A类评定时，分量类评定时，分量自由度一般等于测量次数与被测量个自由度一般等于测量次数与被测量个数之差：数之差：n-tn-t：对于对于B B类评定，分量类评定，分量自由度实际上是臆测自由度实际上是臆测所估计标准差的可所估计标准差的可靠性。认为所估计标准差越可靠，则靠性。认为所估计标准差越可靠，则自由度自由度就大；反之亦然。就大；反之亦然。用相对标准不确定度合成时，有效自由度用相对标准不确定度合成时，有效自由度 为；为；显然，这时灵敏系数显然，这时灵敏系数 为指数为指数4 4）在实验室的认可申请书中的）在实验室的认可申请书中的“申请认可的校准申请认可的校准能力范围中能力范围中”应提供最佳测量能力，即用日常应提供最佳测量能力，即用日常开展校准业务的测量系统校准一个开展校准业务的测量系统校准一个接近理想接近理想。待测样品、仪器的待测样品、仪器的缺陷对测量不确定缺陷对测量不确定度的影响最小度的影响最小合成标准不确定度合成标准不确定度 有自由度？有自由度？取包含因子取包含因子k k一般要求：一般要求：k=2k=2置信概率取置信概率取95%95%一一般般按按p=0.95p=0.95，由由 查查t t分布得包含因子分布得包含因子 =扩展不确定度扩展不确定度合成标准不确定度有效自由度：合成标准不确定度有效自由度：其中其中:对于对于A A类评定分量：类评定分量：对于对于B B类评定分量：类评定分量：(u u(x x)的相对不可靠性）的相对不可靠性）有有无无5.有效数字及运算规则有效数字及运算规则数据左起第一位非零数起数据左起第一位非零数起,到第一位到第一位欠准数止的全部数字。欠准数止的全部数字。有效数字有效数字=准确数字准确数字+欠准数位欠准数位一、有效数字的一般概念一、有效数字的一般概念 有效数字来源有效数字来源于测量时所用的于测量时所用的仪器。我们的任仪器。我们的任务是使测量值尽务是使测量值尽可能准确地反映可能准确地反映出它的真实值。出它的真实值。有两个特征：有两个特征：（2 2）在最小刻度之间）在最小刻度之间可可估计一位估计一位。欠准位欠准位准确位准确位（1 1）以刻度为依据可）以刻度为依据可读到读到最小刻度最小刻度所在位。所在位。35 36(cm)11位置为位置为35.00cm35.00cm,不能写成不能写成 35cm35cm。1122位置为位置为35.40cm35.40cm22 3333位置介于位置介于35.7-35.7-35.835.8之间之间,可以估可以估计为计为35.75.35.7635.75.35.7635.7735.77，不妨取，不妨取35.76cm35.76cm。估计值只有一位，所以也叫欠准数位估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。或可疑数位。有效数字的特点有效数字的特点（1 1）位数与）位数与单位变换或单位变换或小数点位置无关。小数点位置无关。35.76cm=0.3576m=0.0003576km35.76cm=0.3576m=0.0003576km（2 2）0 0 的地位的地位0.0003576 3.005 3.000 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位（3 3）特大或特小数用科学计数法）特大或特小数用科学计数法二、有效数字的读取二、有效数字的读取 进行直接测量时，由于仪器多种多样，进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有效数字的方法大致归纳如下：正确读取有效数字的方法大致归纳如下：1 1、一般读数应读到最小分度以下再估一、一般读数应读到最小分度以下再估一位。位。例如，例如，1/21/2，1/51/5，1/41/4，1/101/10等。等。2 2、有时读数的估计位，就取在最小分度、有时读数的估计位，就取在最小分度位。位。例如，仪器的最小分度值为例如，仪器的最小分度值为0.50.5，则，则0.1-0.4,0.6-0.90.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到都是估计的，不必估到下一位。下一位。3 3、游标类量具，读到卡尺分度值。、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。读，特殊情况估读到游标分度值的一半。5 5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定器的灵敏阈决定。例如在。例如在“灵敏电流计研灵敏电流计研究究”中，测临界电阻时，调节电阻箱中，测临界电阻时，调节电阻箱“”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为，仪器才刚有反应，尽管最小步进为0.10.1电阻值只记录到电阻值只记录到“”“”。4 4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。6 6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。疑位。三三.有效数字的运算规则有效数字的运算规则准准 准准 准准欠欠 欠欠 欠欠11加减：与位数最加减：与位数最 高者对齐。高者对齐。22乘除：一般可与位乘除：一般可与位 数最少者相同。数最少者相同。33幂运算、对数（指数）、三角函数幂运算、对数（指数）、三角函数(反反 三角）不改变有效数字位数。三角）不改变有效数字位数。加、减法加、减法约简约简 可见，约简不影响计算结果。在加减法可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。位数最高者对齐。乘、除法乘、除法 在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。特殊情况比最少者多（少）一位。多一位的情况多一位的情况全部欠准时，商所在位即为全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。为欠准数位。比位数最少者比位数最少者少一位的情况。少一位的情况。有效数字位数与底数的相同有效数字位数与底数的相同乘方、立方、开方乘方、立方、开方初等函数运算初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？四位有效数字，经正弦运算后得几位？问题是在问题是在 位上有波动，比如为位上有波动，比如为 ，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。数所在位。根据微分在近似计算中的应用，可知：根据微分在近似计算中的应用，可知：第四位为欠准数位。第四位为欠准数位。不参与有效数字运算不参与有效数字运算常数常数1.1.不确定度的有效数字不确定度的有效数字 一般情况下一般情况下不确定度不确定度的有效数字取一位，的有效数字取一位，精密测量情况下，可取二位。精密测量情况下，可取二位。2.2.测量结果的有效数字测量结果的有效数字 测量结果最佳值的有效数字的末位与测量结果最佳值的有效数字的末位与不确定度不确定度首位取齐。首位取齐。3.3.舍入规则：舍入规则：四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶四、舍入法则四、舍入法则当当实实验验结结果果的的有有效效数数字字位位数数较较多多时时，进行取舍一般采用进行取舍一般采用1/21/2修约规则修约规则。（1）需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值大大于于0.5时，所留末位需加时，所留末位需加1，即进。，即进。（2）需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值小小于于0.5时，末位不变，即舍。时，末位不变，即舍。（3）需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值等等于于0.5时，所留部分末位应凑成偶数。时，所留部分末位应凑成偶数。即即末末位位为为偶偶数数(0、2、4、6、8)，数数字字舍舍去去；末末位位为为奇奇数数(1、3、5、7、9)，数字入进变为偶数。，数字入进变为偶数。修约成修约成4位有效数字位有效数字3.14159 3.1426.378501 6.3792.71729 2.7174.51050 4.5105.6235 5.6243.21650 3.216四舍、六入、五凑偶一、列表法一、列表法 表表1.不同温度下的金属电阻值不同温度下的金属电阻值n n1 12 23 34 45 56 67 7t t(C C)10.510.526.026.038.338.351.051.062.862.875.575.585.785.7R R()10.42310.42310.89210.89211.20111.20111.58611.58612.02512.02512.34412.34412.67012.670物理量的名称物理量的名称(符号符号)和单位和单位有效数字正确有效数字正确6 实验数据处理基本方法实验数据处理基本方法注意注意:1:1根据数据的分布范围，合理选择根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值，单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。并以有效数字的形式标出。22将实验点的位置用符号将实验点的位置用符号X X或或 等标在图上，用铅笔连成光滑等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线曲线或一条直线，并标出曲线的名称。的名称。二二 作图及图解法作图及图解法33线性关系数据求直线的斜率时线性关系数据求直线的斜率时,应在应在直线上选相距较远的两新点直线上选相距较远的两新点A.BA.B标明标明位置及坐标位置及坐标A(XA(X1 1 Y Y1 1),B(X),B(X2 2 Y Y2 2)由此由此求得斜率。求得斜率。作图法特点作图法特点:简单明了。简单明了。缺点缺点:有一定任意性（人为因素），故有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。不能求不确定度。非线性关系数据可进行曲线改直后再处理非线性关系数据可进行曲线改直后再处理因变量因变量自变量自变量标度标度起点起点终点终点(4)描点描点+(5)连线连线(6)注解说明注解说明(7)求斜率求斜率B(83.5,12.600)B(83.5,12.600)+电阻电阻电阻电阻R R随温度随温度随温度随温度 t t变化曲线变化曲线变化曲线变化曲线A(13.0,10.500)A(13.0,10.500)当当X X等间隔变化，且等间隔变化，且X X的误差可以不计的误差可以不计的条件下，的条件下，将其分成两组将其分成两组，进行逐差可求得：，进行逐差可求得：对于对于 X X：X X1 1 X Xn n X X2 2n n Y Y：Y Y1 1 Y Yn n Y Y2 2n n 三、逐差法三、逐差法砝码质量(Kg)1.0002.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000弹簧伸长位置(cm)x1x2x3x4x5x6x7x8 是从统计的角度处理数据，并能得到测是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。量结果不确定度的一种方法。满足线性关系满足线性关系 y y=a+bx=a+bx 若若最简单的情况最简单的情况:四、最小二乘法四、最小二乘法由于每次测量均有误差，使由于每次测量均有误差，使 在所有误差平方和在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程为最小的条件下，得到的方程 y y=a+bx=a+bx 的方法叫最小二乘法。的方法叫最小二乘法。假定最佳方程为：假定最佳方程为：y=a0+b0 x，其中其中a0和和b0是最佳系数。残差方程组为：是最佳系数。残差方程组为：根根据据上上式式计计算算出出最最佳佳系系数数a0和和b0，得得到最佳方程为：到最佳方程为：y=a0+b0 x最小二乘法应用举例最小二乘法应用举例为为确确定定电电阻阻随随温温度度变变化化的的关关系系式式，测测得得不不同同温温度度下下的的电电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R=a+b t。表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.80 82.3583.9085.10解：解：1.列表算出：列表算出：2.写出写出a、b的最佳值满足方程的最佳值满足方程nt/R/t2/2R t/119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7=245.3=566.00=9326=200443.写出待求关系式：写出待求关系式：数数 据据 处处 理理 方方 法法五 线性回归（方程法）根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人为因素影响，也更为明确和快捷人为因素影响，也更为明确和快捷,这个过程称为这个过程称为回归回归分析分析a.函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，利函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，利用测量的用测量的n对对(xi，yi)值，确定系数的最佳估计值。值，确定系数的最佳估计值。b.第二类问题是第二类问题是y和和x之间的函数关系未知，需要从之间的函数关系未知，需要从n对对(xi，yi)测量数据中寻找出它们之间的函数关系测量数据中寻找出它们之间的函数关系式。式。只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线只讨论第一类问题中的最简单的函数关系，即一元线性方程的回归问题性方程的回归问题(或称或称直线拟合问题直线拟合问题)数数 据据 处处 理理 方方 法法一元线性回归一元线性回归若已知函数的形式若已知函数的形式(最佳经验最佳经验)为为 y=a+bx 实验测得数据（实验测得数据（xi，yi）,i=1,2,n由由 n 对（对（xi，yi）求求a，b 使使(yi)2 最小最小-最小二乘法最小二乘法 (P7)其中其中 y=y y=y(a+bx)对应于每一个对应于每一个x值，值，观测值观测值 y和最佳经验公式的和最佳经验公式的 y 值之间存在一个偏差值之间存在一个偏差y 数数 据据 处处 理理 方方 法法相关系数来判断回归分析的合理性|-1，线性回归是合理的线性回归是合理的;|-0，不宜用线性回归不宜用线性回归.其中：其中：数数 据据 处处 理理 方方 法法例：例：用X射线检查合金铸件，透视电压U与铸件的厚度x的数据如表，求Ux的经验公式，并作相关性检验。观察可见，表中观察可见，表中x与与U呈现比较显著的线性关系呈现比较显著的线性关系,设设U=a+bx解：(1)计算平均值计算平均值X Xi i(mm)(mm)12.012.013.013.014.014.015.015.016.016.018.018.020.020.022.022.024.024.026.026.0U Ui(kV)i(kV)52.052.055.055.058.058.061.061.070.070.065.065.075.075.080.080.085.085.091.091.0(3)(3)相关性检验相关性检验(2)(2)回归系数回归系数可见，可见，U与与x的线性相关性是很高的。的线性相关性是很高的。数数 据据 处处 理理 方方 法法作业作业1：n n1用测量范围为用测量范围为-50150KPa的压力的压力传感器测量传感器测量140KPa压力时，传感器测压力时，传感器测得示值为得示值为142KPa，求该示值的绝对误，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。用误差。P62P62页，将例页，将例3-13-1中的数据改成如下，求测量结果中的数据改成如下，求测量结果序号xi残余误差vi124.774224.778325.100424.780524.772623.323724.773824.775925.123作业作业2 2第第2章章 作业作业作业作业3：求三角周期信号的傅里叶级数：求三角周期信号的傅里叶级数作业作业4：测得不同温度下的电阻如表：测得不同温度下的电阻如表1。试用作图法和最小二乘。试用作图法和最小二乘法两种方法确定电阻随温度变化的关系式。法两种方法确定电阻随温度变化的关系式。表表1.不同温度下的金属电阻值不同温度下的金属电阻值n n1 12 23 34 45 56 67 7t(C)10.526.038.351.062.875.585.7R()10.42310.89211.20111.58612.02512.34412.670结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！74