（湖北专供）高考数学二轮专题复习 5.3用空间向量的方法解立体几何问题辅导与训练检测卷 理

一、选择题1.(2012·长沙模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°,BAC=30°,BC=1，AA1=M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为( )(A)60° (B)45° (C)30° (D)90°2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D)3.(2012·天津模拟)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，则BC1与平面ACC1A1所成角的取值范围是( )(A)(0,) (B)(0,)(C)(0,) (D)(0,4.P是二面角-AB-棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPM=BPN=45°,MPN=60°,那么二面角-AB-的大小为( )(A)60° (B)70° (C)80° (D)90°二、填空题5.在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是_.6.在一直角坐标系中已知A(-1，6)，B(3，-8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_.7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线.其中真命题的编号是_(写出所有真命题的编号).三、解答题8.如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC=90°,且AB=AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.9.(2012·济南模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB,BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上.(1)若P是DF的中点，求证：BF平面ACP;求异面直线BE与CP所成角的余弦值；(2)若二面角D-AP-C的余弦值为求PF的长度.10.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60°,四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF=1.(1)求证：BC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90°),试求cos 的取值范围.11.(2012·杭州模拟)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=2，BC=1，E是PD的中点.(1)求AB与平面AEC所成角的正弦值；(2)若点F在线段PD上，二面角E-AC-F所成的角为,且tan =求的值.答案解析1.【解析】选D.以C为原点，取CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知得C(0，0，0)，A(0，0)，A1()，B1(0，1，)，M(0，0，).则=0，异面直线AB1与A1M所成的角为90°.2.【解析】选B.以A为原点建立空间直角坐标系,如图,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),=(0,1,-1),设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则n1=(1,2,2).平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cosn1,n2=即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为故选B.3.【解析】选C.如图所示，连接AC与BD交于点O，连接C1O，则BC1O就是BC1与平面AA1C1C所成的角.设AB=a,AA1=b,则有BO=所以sin BC1O=故BC1O(0，).4.【解析】选D.不妨设PMa,PN=b,作MEAB于点E，NFAB于点F，如图.EPM=FPN=45°,PE=PF=0.二面角-AB-的大小为90°.5.【解析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,)，则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的一个法向量为n,可求得n=(0,1,1),则=60°，直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.答案：30°【易错提醒】解答本题时易将角误认为60°而致误.根本原因在于没能搞清直线BC的方向向量与平面PAC的法向量夹角的余弦值的绝对值与直线BC与平面PAC所成角的正弦值相等，而非余弦值相等.6.【解析】根据条件作出折叠后图形如图所示，易由A，B两点坐标确定AC，BD，CD的距离及AC和BD所成的角，则即可看作空间向量的一组已知基底，用其表示出向量如图为折叠后的图形，其中ACCD，BDCD，则AC=6，BD=8，CD=4，两异面直线AC，BD所成的角为60°,故由得=68 (注：的夹角为120°).答案：7.【解析】BC1AD1，BC1平面ACD1，BC1上任一点到平面ACD1的距离为定值，为定值，正确；P到面ACD1的距离不变，但AP的长在变化，AP与面ACD1所成角的大小是变量，错误；面PAD1即面ABC1D1，面ABC1D1与面ACD1所成二面角的大小不变，正确；M点的轨迹为A1D1，正确.答案：8.【证明】如图建立空间直角坐标系A-xyz,令AB=AA1=4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4).(1)取AB的中点为N，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，=(-2，4，0)， =(-2，4，0)，DENC.又NC在平面ABC内，DE不在平面ABC内，故DE平面ABC.(2)=(-2，2，-4)，=(2，-2，-2)，=(2，2，0)，=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，则B1FEF，=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0，即B1FAF.又AFFE=F，B1F平面AEF.9.【解析】(1)连接BD，交AC于点O，连接OP.因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF的中位线，所以BFOP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF平面ACP.因为BAF=90°，所以AFAB，因为平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCD= AB，所以AF平面ABCD.因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系.所以B(1,0,0)，E(0,1)，P(0,1,)，C(1,2,0).所以所以即异面直线BE与CP所成角的余弦值为(2)因为AB平面ADF，所以平面APD的一个法向量为n1=(1,0,0).设P点坐标为(0,2-2t,t)，在平面APC中，=(0,2-2t,t)，=(1,2,0)，所以平面APC的一个法向量为n2=(-2,1,)，所以解得t=或t=2(舍).此时|PF|=10.【解析】(1)在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60°,AB=2，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,AB2=AC2+BC2,BCAC.平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCD=AC，BC平面ABCD，BC平面ACFE.(2)由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=(0),则C(0，0，0)，A(0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，=(，-1，1)，设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量，由得取x=1,则n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,又90°，=.0,当=0时，cos 有最小值当=时，cos 有最大值cos .11.【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系O -xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，E(0， 1)，设AB与平面AEC所成的角为，平面AEC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则 取y1=-2n1=(1,-2,1).sin =所以AB与平面AEC所成角的正弦值为(2)令 (0),则F(0,),令平面AFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)则取y2=-2n2=(1,-2,).而tan =cos =cos n1,n2=32-10-5=0=而0,所以=即