概率论：第三章 多维随机变量及其分布

第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量二维随机变量 在某些实际问题中在某些实际问题中,往往需要同时用两个或两个以上的往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述试验的结果随机变量来描述试验的结果,例如某地区对儿童进行抽查例如某地区对儿童进行抽查身体身体,测量被抽儿童的身高测量被抽儿童的身高H和体重和体重W,这里样本空间这里样本空间S=e=某地区的全部儿童某地区的全部儿童,而而H(e)和和W(e)是定义在是定义在S上的两上的两个随机变量个随机变量.1.二维二维r.v.定义定义:设设E是一个随机试验是一个随机试验,样本空间是样本空间是 S=e,设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的上的r.v.,由由它们构成的一个向量它们构成的一个向量(X,Y),叫做叫做二维二维r.v.注注:二维二维r.v.(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X和和Y有关有关,而且还而且还 依赖于这两个依赖于这两个r.v.的相互关系的相互关系.如何描述二维如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律的统计规律?首先可用分布函数首先可用分布函数.2.二维二维r.v.(联合联合)分布函数分布函数:图图2二维二维r.v.的分布函数的基本性质与一维的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函的分布函数数F(x)的性质类似的性质类似.若将若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标看成平面上随机点的坐标,则分布函数则分布函数F(x,y)的值为的值为(X,Y)落在阴影部分的概率落在阴影部分的概率(如图如图1)图图13.下面分别讨论二维离散型和连续型下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.(一一)二维离散型二维离散型r.v.例例1.设设r.v.X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取值四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在则在1X中等可能地取一整数中等可能地取一整数,试求试求(X,Y)的的分布律分布律.Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16X(二二)二维连续型二维连续型r.v.注注:关于二维关于二维r.v.的定义的定义,分布函分布函数及其性质数及其性质,二维离散型二维离散型r.v.连续连续型型r.v.等概念不难推广到等概念不难推广到n(n2)维维r.v.的情况的情况.2.边缘分布边缘分布 一、一、边缘分布函数边缘分布函数：二、二、边缘分布律边缘分布律：例例1(续续)Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 piX1/41/41/41/425/4813/487/483/481三、三、边缘概率密度边缘概率密度:注注:由二维随机变量由二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布(X,Y的联合分的联合分布可唯一地确定布可唯一地确定X和和Y的边缘分布的边缘分布,反之反之,若已知若已知X,Y的边缘分布的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布并不一定能确定它们的联合分布.3.条件分布条件分布 一、一、二维离散型二维离散型r.v.的情况的情况:例例1.设设(X,Y)的分布律为的分布律为:Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在求在X=1时时Y的条件分布律的条件分布律.X用表格形式表示为用表格形式表示为:k 0 1 2 PY=k|X=1 2/3 2/9 1/9 例例2 一射击手进行射击一射击手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止,设以设以X表示首次击中目标表示首次击中目标进行的射击次数进行的射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数,试求试求X和和Y的联合分布律和条件分布律的联合分布律和条件分布律.二、二、二维连续型二维连续型r.v.首先引入条件分布函数首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度然后得到条件概率密度.进一步可以化为进一步可以化为:进一步可以化为进一步可以化为:例例3.设数设数X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x1)时时,数数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值,求求Y的概率密度的概率密度.4.4.相互独立的随机变量相互独立的随机变量 由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念相互独立的概念.若若P(AB)=P(A)P(B),则称则称事件事件A,B相互独立相互独立.2.等价定义等价定义:例例:设设X和和Y都服从参数都服从参数=1的指数分布且相互独立的指数分布且相互独立,试求试求PX+Y1.3.命题：设命题：设(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,则则X,Y相互独相互独立的充要条件是立的充要条件是 =0.所以所以:=0.4.一个重要定理一个重要定理:设设(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)相互独立相互独立,则则Xi(i=1,2,m)和和Yj(j=1,2,n)相互独立相互独立,又若又若h,g是连续函是连续函数数,则则h(x)和和g(y)相互独立相互独立.5.边缘分布及相互独立性的概念可以推广到边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维维r.v.的情况的情况.5.两个两个r.v.的函数的分布的函数的分布(一一)和和(Z=X+Y)的分布的分布:已知已知(X,Y)的联合密度是的联合密度是f(x,y),求求Z=X+Y的分布的分布密度密度.结论结论:若若X,Y是连续型是连续型r.v.且且X与与Y相互独立相互独立,则则X+Y也是连续型也是连续型r.v.且它的密度函数为且它的密度函数为X与与Y的密度函数的密度函数的卷积的卷积.例例1.(P86)设设X和和Y相互独立相互独立,且都服从且都服从N(0,1),求求:Z=X+Y的分布密度的分布密度.结论结论:(二二)M=max(X,Y)及及m=min(X,Y)的分布的分布:设设X,Y相互独立相互独立,分布函数分别为分布函数分别为FX(x)和和FY(y).首先求首先求M=max(X,Y)的分布的分布.推广推广:设设X1,X2,Xn相互独立相互独立,分布函数分别为分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),则则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z)特别地特别地,当当X1,X2,Xni.i.d.时时,设分布函数为设分布函数为F(x),(四四)利用利用“分布函数法分布函数法”导出两导出两r.v.的和的和,商等的分布商等的分布 函数或密度函数的公式函数或密度函数的公式,其其要点要点为为:(五五)对于离散型对于离散型r.v.的函数的分布的函数的分布:设设X,Y是离散型是离散型r.v.且相互独立且相互独立,其分布律分别为其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3,PY=j=qj,j=0,1,2,3,求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解:PZ=i=PX+Y=i(X与与Y相互独立相互独立)于是有于是有:这就是这就是Z=X+Y的分布律的分布律.例例 设设X,Y是相互独立的是相互独立的r.v.,分别服从参数为分别服从参数为 1,2的泊松分布的泊松分布,试证明试证明Z=X+Y也服从泊松分布也服从泊松分布.证明证明:已知已知由上式知由上式知,PZ=i从而证明从而证明Z=X+Y也服也服泊松泊松分布分布.第三章第三章 习题课习题课一一.主要内容主要内容：(1)二维二维r.v.的分布函数的分布函数,离散型离散型r.v.的联合的联合 分布分布,连续型连续型r.v.的联合概率密度的联合概率密度.(2)边缘分布函数边缘分布函数;边缘分布律边缘分布律;边缘概率密度边缘概率密度.(3)条件分布律条件分布律;条件概率密度条件概率密度.(4)随机变量的相互独立随机变量的相互独立.(5)两个两个r.v.函数的分布函数的分布.1.设某人从设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数四个数中依次取出两个数,记记X为第一次所取出的数为第一次所取出的数,Y为第二次所取出的数为第二次所取出的数,若若第一次取后不放回第一次取后不放回,求求X和和Y的联合分布律的联合分布律.二二.练习题练习题:1.设某人从设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数四个数中依次取出两个数,记记X为第一次所取出的数为第一次所取出的数,Y为第二次所取出为第二次所取出的数的数,若第一次取后不放回若第一次取后不放回,求求X和和Y的联合分的联合分布律布律.=PX=iPY=j|X=i6.设离散型随机变量设离散型随机变量X与与Y的分布列分别为的分布列分别为X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且且X与与Y相互独立相互独立,求求:(1)Z=X+Y的分布列的分布列;(2)(X,Y)的联合的联合分布列分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).6.设离散型随机变量设离散型随机变量X与与Y的分布列分别为的分布列分别为X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且且X与与Y相互独立相互独立,求求:(1)Z=X+Y的分布列的分布列;(2)(X,Y)的联合分布列的联合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).解解:Z 0 1 2 3 pk1/12PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=1/6.1/6PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=11/24.11/24PZ=2=PX=1,Y=1+PX=2,Y=0=7/24.7/24PZ=3=PX=2,Y=1=1/12.(2)Y 0 1 0 1/6 1/3 1 1/8 1/4 2 1/24 1/12x(3)M 0 1 2 pkPM=0=PX=0,Y=0=1/6;1/6PM=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=1/4+1/8+1/3=17/24;17/24PM=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=1/8;1/8(4)N 0 1 pkPN=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3;2/3PN=1=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1=1/31/3复习题（三）复习题（三）第第4题题