（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线检测评估-人教版高三全册数学试题

第62课抛物线一、 填空题 1. 已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=x2+1上,那么抛物线C1的准线方程为. 2. (2014·资阳模拟)已知点P在抛物线x2=4y上,且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为13,那么点P到x轴的距离是. 3. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点Q(4,m)到其焦点的距离为5,则实数m的值为. 4. (2014·北京朝阳区模拟)如果点P(2,y0)在以点F为焦点的抛物线y2=4x上,那么PF=. 5. (2014·烟台模拟)已知直线l过抛物线y2=4x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且点A,B到y轴的距离分别为m,n,那么m+n+2的最小值为. 6. 已知F为抛物线x2=ay(a>0)的焦点,O为坐标原点,点M为抛物线上的任意一点,过点M作抛物线的切线交x轴于点N.设k1,k2分别为直线MO与直线NF的斜率,则k1k2=. 7. (2014·宿州一模)已知抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,则弦AB的中点到抛物线准线的距离为. 8. (2014·赣州联考)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若AF=3,则AOB的面积为.二、 解答题 9. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1) 求此抛物线的方程;(2) 过点M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标.(第9题)10. 已知抛物线y2=6x上的两个动点A和B,F是焦点,满足AF+BF=7,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求点C的坐标.(第10题)11. (2014·北京模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),点O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.(1) 求抛物线C的方程;(2) 若直线OA,OB的斜率之积为-,求证:直线AB过定点.第62课抛物线1. y=-1解析:抛物线C1的焦点为F,所以=0+1,p=2,故抛物线C1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-1. 2. 解析:抛物线的准线为y=-1,设点P到x轴的距离为d,则d+1=3d,解得d=.3. ±4解析:由题意知4+=5,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.将A(4,m)代入抛物线方程,解得m=±4. 4. 3解析:根据抛物线的定义知点P到点F的距离等于点P到其准线x=-1的距离,即d=|2-(-1)|=3.5. 4解析:由题意知m+n+2=AB,则其最小值即为通径长2p=4.6. -解析:设M,则过点M的抛物线的切线方程为y=(x-x0)+,令y=0,得xN=,故N,F,则k2=kNF=-.又k1=kMO=,故k1k2=-. 7. 11解析:因为双曲线-=1的右焦点坐标是(3,0),所以=3,p=6,即抛物线的标准方程为y2=12x.直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-2与y2=12x联立,消去y得x2-16x+4=0,所以x1+x2=16,所以线段AB的中点到抛物线的准线的距离=11.8. 解析:设直线AB的倾斜角为(0<<)及BF=m,因为AF=3,所以点A到准线l:x=-1的距离为3,所以2+3cos=3,即cos=,则sin=.因为m=2+mcos(-),所以m=,所以AOB的面积为S=×OF×AB×sin=×1××=.9. (1) 因为点A在抛物线y2=2px(p>0)上,点A的横坐标为4,点A到抛物线的准线的距离为5,由抛物线的定义知5=4+,所以p=2,故抛物线的方程为y2=4x.(2) 由(1)知点A(4,4),B(0,4),所以点M(0,2),而点F(1,0),kAF=,所以kMN=-,所以直线MN的方程为3x+4y-8=0,直线AF的方程为4x-3y-4=0,联立可求得N. 10. 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由AF+BF=7,得+=7,即x1+x2=4,所以x0=2,y0=,kAB=. =,则线段AB的垂直平分线的方程是y-y0=-(x-2).易知x=5,y=0是方程的一个解,所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点,点C的坐标为(5,0). 11. (1) 因为焦点为F(1,0),所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2) 若直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b.联立方程组得k2x2+(2kb-4)x+b2=0.所以x1x2=,y1y2=.因为直线OA,OB的斜率之积为-,即·=-,所以=-,即b=-8k,代入直线方程,得直线AB的方程为y=kx-8k.所以直线AB过定点(8,0).若直线AB的斜率不存在,则x1=x2,y1=-y2,由·=-,可得x1=x2=8,所以直线AB的方程为x=8,过定点(8,0).综上,直线AB过定点.