（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 理 苏教版 1.导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0).(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a>0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a>0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则yxyu·ux，即yxyu·a.【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.(f(x)0).3.af(x)bg(x)af(x)bg(x).4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.(×)(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同.(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x.(×)1.(教材改编)若f(x)x·ex，则f(1) .答案2e解析f(x)exx·ex，f(1)2e.2.(教材改编)(cos x)sin x；若y，则y；().其中正确的个数是 .答案1解析因为(cos x)sin x，所以错误；()(x2)2x3，所以错误；()()，所以正确.3.(教材改编)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为 .答案5xy20解析因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.4.(教材改编)若过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为 .答案(，2)或(，2)解析y(x1)4，x2，x±.切点坐标为(，2)或(，2).5.(教材改编)函数f(x)x3的斜率等于1的切线有 条.答案2解析y3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0±，即在点(，)和点(，)处有斜率为1的切线.题型一导数的计算例1求下列函数的导数.(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)ysin(2x)；(5)yln(2x5).解(1)y(x2)·sin xx2·(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().(4)设u2x，则ysin u，则y(sin u)·ucos(2x)·2即y2cos(2x).(5)令u2x5，则yln u，则y(ln u)·u·2，即y.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0 .(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1) .答案(1)1(2)2解析(1)f(x)2 016ln xx×2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x>0)和yx3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为 .(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 .答案(1)(2)xy10解析(1)方法一由题设可知曲线yx2在A(x1，y1)处的切线方程为y2x1xx，曲线yx3在B(x2，y2)处的切线方程为y3xx2x，所以解得x1，x2，所以.方法二由题设得解得x1，x2，所以.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例3(1)(2016·徐州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f(x)x1，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，则实数k .答案(1)e(2)1e解析(1)设切点坐标为P(x0，y0)，由yex，得，从而切线方程为，又切线过定点(0，0)，从而，解得x01，则me.(2)设切点为(x0，y0).因为f(x)1，则f(x0)k，即1k，且kx01x01，所以x01，所以k11e.命题点3导数与函数图象的关系例4如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的 .答案解析函数的定义域为0，)，当x0，2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0，2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当x(2，3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 .(2)(2016·昆明模拟)设曲线y在点(，1)处的切线与直线xay10平行，则实数a .答案(1)3(2)1解析(1)设切点的横坐标为x0，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)y，1. 由条件知1，a1. 3.求曲线的切线方程典例若存在过点O(0，0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.错解展示现场纠错解易知点O(0，0)在曲线yx33x22x上.(1)当O(0，0)是切点时，由y3x26x2，得y|x02，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.由得x22xa0，依题意44a0，得a1.(2)当O(0，0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，则y0x3x2x0，k3x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx.由得x2xa0，依题意，4a0，得a.综上，a1或a.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1.(2016·天津)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为 .答案3解析因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.2.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为 .答案解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.3.若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为 .答案1或解析y3x26xp，设切点为P(x0，y0)，解得或4.若f(x)2xf(1)x2，则f(0) .答案4解析f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f(1)04.5.(2016·江苏扬州中学期中)若x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，则k .答案e2解析由f(x)ln xkx3，得f(x)k，设点M(x0，y0)是曲线f(x)上的一点，则曲线f(x)ln xkx3在点M处的切线方程为y(ln x0kx03)(k)(xx0)，x轴是曲线f(x)ln xkx3的一条切线，解得ke2.6.已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为 .答案解析由题意可知f(x)，g(x)，由f()g()，得×，可得a，经检验，a满足题意.7.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a .答案1解析f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.所以函数在(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1).将(2，7)代入切线方程，得7(a2)13a，解得a1.8.(2016·南京模拟)曲线ylog2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 .答案解析y，k，切线方程为y(x1).三角形面积S×1×.9.若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .答案2，)解析f(x)x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2.*10.已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为 .答案1解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1·x2··x2 015×××××，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.11.(2016·江苏五校联考)已知曲线y与y的交点为P，两曲线在点P处的切线分别为l1，l2，则切线l1，l2与y轴所围成的三角形的面积为_答案6解析由解得即P(4,2)，由y，得y()，则直线l1的斜率k1，l1：yx1.同理可得l2：yx4，如图，易知SPAB×3×46，即所求的面积为6. 12.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.答案1解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.13.已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.答案0解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)13×()0.14.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1,2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_答案解析设P(x0，x1)，x01,2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x1，设g(x)2x0(xx0)x1，则g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，S普通梯形×1x3x012，P点坐标为时，S普通梯形最大15.已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yx3上，yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x)，则切线的斜率为y|x.切线方程为y(x)x(xx0)，即yx·xx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.*16.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.