（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

第十章 计数原理 10.3 二项式定理教师用书 理 苏教版1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以n和n(两者相等)最大(4)CCC2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)Canrbr是二项展开式的第r项(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项(×)(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项(×)(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.(×)1(教材改编)(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是_答案(1)m1C解析(xy)n展开式中第m项的系数为C(1)m1.2(2016·四川改编)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为_答案15x4解析由题意可知，含x4的项为Cx4i215x4.3(2016·徐州模拟)已知C2C22C23C2nC729，则CCCC_.答案63解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.4(2016·苏州模拟)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_答案168解析(1x)8的通项为Cxr，(1y)4的通项为Cyt，(1x)8(1y)4的通项为CCxryt，令r2，t2，得x2y2的系数为CC168.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016·全国乙卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国改编)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_答案(1)10(2)30解析(1)(2x)5展开式的通项公式Tr1C(2x)5r·()rC25r，r0,1,2,3,4,5，令53，解得r4，得T5C25410x3，x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3·y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4·xCx5.所以x5y2的系数为CC30.方法二利用组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC30.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数例2(1)(2015·课标全国)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.(2)(2016·山东)若5的展开式中x5的系数为80，则实数a_.答案(1)3(2)2解析(1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)Tr1C(ax2)5rra5rC，10r5，解得r2，a3C80，解得a2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可(1)(2016·连云港模拟)(x)(1)4的展开式中x的系数是_(2)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案(1)3(2)解析(1)(1)4展开式的通项公式Tr1C()r(1)rC，(x)(1)4的展开式中含x的项为·(1)4Cx2x·(1)0C·x2x·13x，故系数是3.(2)设通项为Tr1Cx10rar，令10r7，r3，x7的系数为Ca315，a3，a.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数的和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.(1)(2017·淮安月考)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_.答案6解析由题意得aC，bC，13C7C，13，解得m6，经检验符合题意(2)若(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016x2 016，则的结果是多少？解当x0时，左边1，右边a0，a01.当x时，左边0，右边a0，01.即1.题型三二项式定理的应用例4(1)设aZ且0a13，若512 016a能被13整除，则a_.(2)1.028的近似值是_(精确到小数点后三位)答案(1)12(2)1.172解析(1)512 016a(521)2 016aC·522 016C·522 015C×52·(1)2 015C·(1)2 016a，C·522 016C·522 015C×52·(1)2 015能被13整除且512 016a能被13整除，C·(1)2 016a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式(1)190C902C903C(1)r90rC9010C除以88的余数是_答案1解析190C902C903C(1)r90rC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)已知2n2·3n5na能被25整除，求正整数a的最小值解原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.13二项展开式的系数与二项式系数典例(1)(2016·江苏镇江中学质检)若()n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为_(2)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4的系数是35，则a1a2a7_.错解展示解析(1)()n展开式中，令x1可得4n1 024，n5，()n展开式的通项Tr1(3)r·C·，令1，得r1.故展开式中含x项的系数为C5.(2)a1a2a7CCC271.答案(1)5(2)271现场纠错解析(1)在()n的展开式中，令x1，可得()n展开式的各项系数绝对值之和为4n22n1 024210，n5.故()5展开式的通项为Tr1(3)r·C·，令1，得r1，故展开式中含x项的系数为15.(2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7，令x0，a0(m)7.又展开式中x4的系数是35，C·(m)335，m1.a0(m)71.在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中，令x1，得01a1a2a7，即a1a2a3a71.答案(1)15(2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和. 1在x2(1x)6的展开式中，含x4项的系数为_答案15解析因为(1x)6的展开式的第r1项为Tr1Cxr，x2(1x)6的展开式中含x4的项为Cx415x4，所以系数为15.2(2015·湖南改编)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a_.答案6解析5的展开式通项Tr1C (1)rar·(1)rarC ，令r，则r1，T2aC，aC30，a6.3(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是_答案15解析设展开式中的常数项是第r1项，则Tr1C·(4x)6r·(2x)rC·(1)r·212x2rx·2rxC·(1)r·212x3rx，12x3rx0恒成立，r4，T5C·(1)415.4(2015·湖北改编)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为_答案512解析由题意，CC，解得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129512.5若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为_答案4解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为4a115，a4.6若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2a3(1)nan_.答案(3n1)解析在展开式中，令x2，得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1)7(2016·扬州模拟)已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则_.答案解析由题意可得aC70，再根据得求得r5或6，此时，b7×28，.8(2016·北京)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字作答)答案60解析展开式的通项Tr1C·16r·(2x)rC(2)r·xr.令r2，得T3C·4x260x2，即x2的系数为60.9(2016·天津)8的展开式中x7的系数为_(用数字作答)答案56解析8的通项Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，当163r7时，r3，则x7的系数为(1)3C56.10若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)5r·(1)r，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.11(2016·苏锡常联考)已知(ax1)5a0a1xa2x2a3x3a4x432x5，则二项式(ax1)5展开后的各项系数之和为_答案1解析(ax1)5a0a1xa2x2a3x3a4x432x5，x5的系数为C·a532，解得a2.在(2x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x432x5中，令x1可得二项式(2x1)5展开后的各项系数之和为1.12已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71 094.(3)()÷2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.13求证：122225n1(nN*)能被31整除证明122225n125n132n1(311)n1C×31nC×31n1C×31C131(C×31n1C×31n2C)，显然C×31n1C×31n2C为整数，原式能被31整除*14.若()n展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项解易求得展开式前三项的系数为1，C，C.据题意得2×C1Cn8.(1)设展开式中的有理项为Tr1，由Tr1C()8r()r()rC，r为4的倍数，又0r8，r0,4,8.故有理项为T1()0Cxx4，T5()4Cx，T9()8C.(2)设展开式中Tr1项的系数最大，则r2或r3.故展开式中系数最大的项为T3()2C7，T4()3C7.