（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.2 直接证明与间接证明教师用书 文 苏教版-苏教版高三全册数学试题

12.2 直接证明与间接证明1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法框图表示：思维过程：由因导果(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法框图表示：思维过程：执果索因2间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)这个过程包括下面3个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件(×)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式<最合适的方法是分析法()1(2016·扬州质检)已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_答案cn1<cn解析由条件得cnanbnn，则cn随n的增大而减小，cn1<cn.2用反证法证明命题：“a，bN，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为_答案a，b至少有一个能被5整除解析“都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”3要证a2b21a2b20只要证明_(填正确的序号)2ab1a2b20；a2b210；1a2b20；(a21)(b21)0.答案解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.4如果ab>ab，则a、b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()>0.ab>ab成立的条件是a0，b0且ab.5(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有 f()，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_答案解析f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C(0，)f()f()，即sin Asin Bsin C3sin ，sin Asin Bsin C的最大值为.题型一综合法的应用例1数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明>.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1，Snn2.方法一>(1)()()1.方法二>1，又1>，>.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglg>lg alg blg c.证明a，b，c(0，)， >0， >0， >0.由于a，b，c是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，··>abc>0成立上式两边同时取常用对数，得lg(··)>lg abc，lglglg>lg alg blg c.题型二分析法的应用例2已知函数f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f(x1)f(x2)>f.证明要证f(x1)f(x2)>f，即证明(tan x1tan x2)>tan ，只需证明>tan ，只需证明>.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cos x1cos x2>0，sin(x1x2)>0,1cos(x1x2)>0，故只需证明1cos(x1x2)>2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x2>2cos x1cos x2，即证cos(x1x2)<1.由x1，x2，x1x2知上式显然成立，因此f(x1)f(x2)>f.引申探究若本例中f(x)变为f(x)3x2x，试证：对于任意的x1，x2R，均有f.证明要证明f，即证明2·，因此只要证明(x1x2)(x1x2)，即证明，因此只要证明，由于x1，x2R时，3x1>0,3x2>0，由基本不等式知显然成立，故原结论成立思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证(2016·苏州模拟)下列各式：>，>，>，>.请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明解已知a>b>0，m>0，求证：>.证明如下：a>b>0，m>0，欲证>，只需证a(bm)>b(am)，只需证am>bm，只需证a>b，由已知得a>b成立，所以>成立题型三反证法的应用命题点1证明否定性命题例3(2016·连云港模拟)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列(1)解设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列命题点2证明存在性问题例4已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求证：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，假设不成立不存在这样的点F，使得BF平面SAD.命题点3证明唯一性命题例5已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根证明由于a0，因此方程至少有一个根x.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由得a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设错误所以当a0时，方程axb有且只有一个根思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果已知二次函数f(x)ax2bxc(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明>c.证明(1)f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根即是函数f(x)的一个零点(2)假设<c，又>0，由0<x<c时，f(x)>0，知f()>0，与f()0矛盾，c，又c，>c.22反证法在证明题中的应用典例(14分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A、C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形思想方法指导在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去规范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分由于O(0,0)，B(0,1)，所以设点A，代入椭圆方程得1，则t±，故|AC|2.4分(2)证明假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.7分设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，k·m.所以AC的中点为M.10分因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为，因为k·1，所以AC与OB不垂直13分所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形14分1(2017·泰州月考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_答案方程x2axb0没有实根解析因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”2若一元二次不等式2kx2kx<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_答案(3,0解析若2kx2kx<0对一切实数x都成立，则必有或k0.解得3<k0.3设x，y，z>0，则关于三个数，的叙述正确的是_都大于2 至少有一个大于2至少有一个不小于2 至少有一个不大于2答案解析因为()()()()()()6，当且仅当xyz时等号成立所以三个数中至少有一个不小于2，正确4(2016·镇江模拟)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是_答案P<Q解析P22a72·2a72，Q22a72·2a72，P2<Q2，P<Q.5(2016·苏州模拟)下列条件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的条件的序号是_答案解析要使2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立6用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是_假设a，b，c都是偶数；假设a，b，c都不是偶数；假设a，b，c至多有一个偶数；假设a，b，c至多有两个偶数答案解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故正确7(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_答案1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”8若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是_答案解析若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，则解得p3或p， 故满足题干条件的p的取值范围为.9已知m>0，a，bR，求证：()2.证明因为m>0，所以1m>0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证10设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x)为偶函数证明由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x)将x换成x代入上式可得f(x1)f(x)，即f(x)f(x)，由偶函数的定义可知f(x)为偶函数11(2016·苏州模拟)已知函数f(x)ax(a>1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x1<x2，则x2x1>0.a>1，ax2x1>1且ax1>0，ax2ax1ax1(ax2x11)>0.又x11>0，x21>0，>0.于是f(x2)f(x1)ax2ax1>0，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x0<0(x01)满足f(x0)0，则ax0.a>1，0<ax0<1，0<<1，即<x0<2，与假设x0<0相矛盾，故方程f(x)0没有负数根12(2016·浙江)设函数f(x)x3，x0,1，证明：(1)f(x)1xx2；(2)f(x).证明(1)因为1xx2x3，由于x0,1，有，即1xx2x3，所以f(x)1xx2.(2)由0x1得x3x，故f(x)x3xx，所以f(x).由(1)得f(x)1xx22，又因为f，所以f(x).综上，f(x).13.(2015·课标全国)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此 .(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得 .若 ，则()2()2，即ab2 cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上， 是|ab|cd|的充要条件